談談中學數學解題的過程

【摘 要】在解題中，學生往往缺乏正確解題的思維意識，抓不住問題的內在聯系和本質屬性，以至于解題生搬硬套，甚至束手無策。數學解題中的轉化意識就是從觀察數學題本身入手，發現它的組成部分的特征和各種關系，通過轉化各種知識經驗，把問題化歸為熟悉的問題或想出新的方法，從而確定解題策略，關鍵就是恰當地變換問題。

【關鍵詞】數學 解題計劃 過程分析

在解題中，學生往往缺乏正確解題的思維意識，抓不住問題的內在聯系和本質屬性，以至于解題生搬硬套，甚至束手無策。如何恰當地變換問題乃是探求問題解決思路中的中心環節。所謂恰當地變換問題是指通過實行變換使得到的新問題較易解決，最終達到解決原問題的目的。其基本思想是:把甲問題的求解，轉化為乙問題的求解，再通過乙問題的求解返還去獲得甲問題的求解。從而，把生疏的問題轉化為熟悉的問題;把復雜的問題轉化為簡單的問題;把抽象的問題轉化為具體的問題。它的最終目的是化難為易、化繁為簡，以達到解題目的。

一、數學解題應遵循的幾個原則

解數學題，實質上就是應用數學中各種思維方法與知識，對問題作出一系列恰當的、巧妙的轉換。這種轉換，要由具體問題決定，可變換題目的條件，導出目標；也可變換題目的目標，逆向追溯題設條件；也可同時變換題目的條件和目標，在變換中求得一致，得到解決。在轉化方向上，我們總是遵循一些原則，如簡單化原則、熟悉化原則、同一化原則、模式化原則等。自覺地遵循這些原則，能使我們更好地把解題方向，少走彎路，更快地打開解題思路。

1.簡單化原則

所謂簡單，就是把比較復雜的問題，通過變換，變成比較簡單的問題，把解決復雜問題歸結為解決簡單的問題，或通過問題的簡單化，獲得解決復雜問題的思路。

2.熟悉化原則

在解題中，我們常常碰到非常陌生的問題，與所學的知識很難聯系，無從插手，在這種情況下，我們就要考慮能否將此問題轉化為我們所熟悉的、會解的問題，通過熟悉問題的解決，得到原問題的解決。

3.同一化原則

在解題中，常常需要減少不同元素，縮短條件和目標的距離，從而探索解題思路，這就是轉換的同一化原則。在解題中，將元素統一，將條件和目標統一，將新問題和會解的問題統一，是更重要的解題思考方法。

4.模式化原則

在數學知識的學習和運用過程中，對知識結構和數學思想逐漸形成數學模式。利用已經建立的數學模式，不斷去認識新事物，解決新問題，反過來又會不斷豐富、完善以至改變原有的數學模式，一個人的解題思路是否開闊，在很大程度上取決于這個人建立數學模式的多少和運用數學模式的熟練程度。很多習題，只要仔細觀察，認真分析題型結構，或只須稍加變換，便可把它納入到某個統一的模式，思路明朗化，問題得到解決。

二、數學解題的一般方法

1.審題

審題就是要充分理解題意，并用數學語言將其表述出來，對問題進行深入的剖析，將問題置于某一具體背景之下。包括以下幾個方面

(1)審清條件：明顯得條件；隱含的條件；可能時將條件圖表化；在可能的情況下將條件轉化；弄清楚問題的等價敘述。

(2)審清結論：羅列出解題的目標；將結論圖表化；注意等價說法；分析多目標化的層次關系。

(3)審清題目結構：弄清條件和結論聯系的方式，圖、表、數、式的結構特征；盡可能直觀化，弄清結構，判明題型；推敲條件和結論的聯系，能否作不同的理解。

2.擬定解題計劃

波利亞說過：“解題學習過程，也是積蓄力量的過程。”首先應該將問題一般化或者簡單化，在制定解題計劃時，要做到“三想”—回想、聯想、猜想。

(1)回想:是一般到特殊的演繹推理，即“似曾相似燕歸來”。

(2)聯想:有接近、相似、關系、對比等聯想，為類比推理。

(3)猜想:由特殊到一般，是一種歸納推理。

3.實現計劃

實現計劃就是解題過程，用相關知識推寫出所需的結果，對于信息的提取決定于對信息內涵的理解。數學語言表述的好壞是非常重要的，要簡潔明了、層次分明、嚴謹規范。

4.回顧與反思

(1)檢查有無遺漏，圖形是否規范，條件是否用足。

(2)查一查“理”，公式、法則、定理等是否用對，推理是否有據。

(3)查一查“算”，運算是否準確，式子的書寫是否合乎要求。

(4)查一查解答是否完整，有無錯誤，是否有更多更優的解法，能否將問題推廣、深化。

例如：在等腰ΔABC中，∠A=90°，AD=1，E為AC的中點，EF⊥BF交BC于F，求SΔCEF？

此題的解法特別多，哪一種解法更優？

四、解題過程分析

數學題就題型而言有三種：標準題、變式題、探求性的題。

1．標準題：條件、結論、法則解題途徑和方法都是已知的。主要是模仿和記憶，通過學習，可由生而熟，在模仿運用中逐步形成技能，解標準題是必要的。解標準題的特點是：在典型知識和范例的暗示下，可以根據典型例題提供的程序來解，且往往是重復的思維動作，稍有不慎，就可能出錯。

例1:把一個直徑為10的金屬球熔化后能做成多少個直徑為5的小球？

分析：體積比等于直徑的立方比，故能做8個。

例2:求函數的值域？

分析：此題最易于用判別式求，則出錯，應用一元二次方程根的分布求解。

2.解變式題：變式題的含量非常廣泛，是由對基本知識的學習，向探求問題的轉化過程，是對標準題形式的變換。由標準題轉化為變式題的方法有：改變問題的表述方式；隱藏題中的一些條件。

例3：解方程363 x2＋77 x－40＝0

分析：因為363、77能被121、11整除，故令y =11 x ，原方程化為3 y2＋7 y－40＝0，問題簡單化了。

解變式題要充分注意可利用的信息，經常探索與此類問題相吻合的模型。

3.解探求題:解探求題的基礎是對問題有清楚地理解。

例6：自然數n可以用多少種不同的方式表成m個自然數之和（有順序）?

分析：由題意可知n≥m

①當n=m時，只有一種表示方法 n＝1＋1＋……＋1

②當 n>m時，如 n =5 ，m =3

5=1+1＋3＝1＋3＋1＝3＋1＋1＝1＋2＋2=2＋1＋2=2＋2＋1

但從另一角度想：

5＝1＋1＋1＋1＋1，其中有四個運算符“＋”，取兩個運算符有C24種，故n＝1＋1＋……＋1，有n－1個運算符，每次取m－1個即可，共有Cm-1n-1種不同的表示方式。

總之，數學問題的求解都是運用已知條件對問題進行一連串恰當轉化歸結，進而達到解決數學問題的一個探索過程，熟練、恰當的轉化可以迅速、準確地解決問題。靈活的轉化可以出方法、出速度。而數學問題中運用化歸思想解題的例子比比皆是，平時教學中，經常地進行解題思想和方法的教學，針對不同的問題，縝密思考，及時總結各種“轉化歸結”方法，學生解題能力及靈活性就會逐步地得到提高。

(作者單位：重慶市黔江中學校）