巧妙構造立體幾何模型解題

正方體、長方體、正四面體都是很典型的多面體，也可以看作典型的立體幾何模型。在一定的幾何環境中，通過巧妙構造以上模型，會使解題思路順暢自然，避繁就簡。下面通過例題予以說明。

一、 構造正方體模型

例1 球與正四面體的六條棱都相切，則球與正四面體的體積比是多少？

二、 構造長方體模型

例3 半徑為4的球面上有A，B，C，D四個點，且AB，AC，AD兩兩垂直，則△ABC，△ACD，△ABD面積之和的最大值為多少？

解 三線段AB，AC，AD共點且兩兩垂直，由此構造長方體。設AB=a，AC=c，AD=b（如圖3所示）。

例5 如圖5所示，二面角α-AB-β為30°，在β上作AD⊥AB，A為垂足，AD=10，過D作CD⊥α，垂足為C，∠ACB=60°，求AC與BD的距離。

解 由小三棱錐B-ACD可看作長方體的一角，故構造如圖6所示的長方體BD，作CH⊥DE，可證CH為所求。

三、 構造正四面體模型

例6 將四個半徑為1的小球放入一個大球內，則大球表面積最小值為多少？

例7 將半徑為1的四個小球完全裝入正四面體的容器中，這個正四面體高的最小值為多少？