不等式證明中的化繁策略

“化簡”是數(shù)學(xué)解題過程中最常用的一種解題策略，然而，對于某些不等式的證明，如果我們反其道而行之，通過“化繁”將之轉(zhuǎn)化成一個我們較為熟悉的某個定理、公式或模型不等式，則可使問題迎刃而解。本文試通過若干例子說明“化繁”策略在不等式證明中的應(yīng)用。

一、 將不等式的結(jié)構(gòu)化繁，探索規(guī)律，繁中探路

合理地將不等式的結(jié)構(gòu)由簡變繁，可揭示其內(nèi)部的變化規(guī)律，鏈接目標，探索解題的前進方向，使問題獲得解決。

例1 已知n∈N，且n≥3，求證：2n≥2（n+1）。

故2n≥2（n+1）。

評析 本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但利用二項式定理把2n化繁，結(jié)合放縮法能簡便地證得結(jié)果。

二、 將不等式中的常量變繁，先繁后簡，繁中尋路

將常量化成變量，蘊含著無窮的變化，雖然由簡變繁，但可以繁中尋路，逼近目標，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的無窮魅力。

例4 求證：（22008）2009＞（2009！）2。

三、 將不等式拆分、添項，使之變繁，巧妙搭臺，繁中指路

將不等式進行拆分、添項、巧妙搭設(shè)臺階，使條件有序化、目標化，可以拓展條件空間，起到有效指路的作用。

例5 已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，滿足：

（1）對任意x1，x2∈[-1，1]，都有｜f（x1）-f（x2）｜≤｜x1-x2｜；

（2）f（-1）=f（1）。

求證：對任意x1·x2∈[-1，1]，都有｜f（x1）-f（x2）｜≤1。

解 要證｜f（x1）-f（x2）｜≤1，由｜f（x1）-f（x2）｜≤｜x1-x2｜知，只需設(shè)定｜x1-x2｜的范圍，不妨設(shè)x2≥x1。

（1）當x2-x1≤1時，有｜f（x1）-f（x2）｜≤｜x1-x2｜≤1。

（2）當x2-x1＞1時，｜f（x1）-f（x2）｜=｜f（x1）-f（-1）+f（1）-f（x2）｜

≤｜f（x1）-f（-1）｜+｜f（1）-f（x2）｜

≤｜x1+1｜+｜1-x2｜=1+x1+1-x2

=2-（x2-x1）＜1，