一道平行四邊形存在性問題的解法探究

【摘要】 平行四邊形存在性問題是中考的熱點問題，蘊含著圖形變換和方程等知識，考查學生分析問題、解決問題的能力.對于此類問題一般使用解析幾何的方法來解決，且主要有兩個方法，即坐標平移法和對角線平分法.本文結合一道典型例題，探究兩種方法在解題中的實際應用，以供讀者參考.

【關鍵詞】平行四邊形；初中數學；解題技巧

1 試題呈現

在平面直角坐標系中存在A（－1，0），B（0，2）兩點，點P是x軸上的一個動點，在直線y=12x+3上是否存在點Q，使得以A，B，P，Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出對應的P，Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

2 方法展示

方法1 坐標平移法

解 ①情況1 若AB是邊，則PQ也是邊，

所以AB∥PQ且AB=PQ，即PQ可視為是AB平移得到的.

由于A（－1，0），B（0，2），

所以點Q在直線y=2或直線y=－2上.

如圖1中Q1，Q2點所示.

當點Q在直線y=2上時，點Q即為點Q1，點P即為點P1.

因為點Q1也在直線y=12x+3上，

所以點Q1的坐標為（－2，2）.

過點Q1作Q1H1⊥x軸于點H1，

可得△Q1P1H1≌△BAO，P1H1=AO=1，所以點P1的坐標為（－3，0）.

當點Q在直線y=－2上時，點Q即為點Q2，點P即為點P2.

點Q2也在直線y=12x+3上，

所以點Q2的坐標為（－10，－2）.

過點Q2作Q2H2⊥x軸于點H2，

可得△Q2P2H2≌△BAO，P2H2=AO=1，

所以點P2的坐標為（－9，0）.

②情況2 若AB是對角線，則PQ也是對角線，AP與BQ為對邊，則AP∥BQ，由此可確定點Q位置：點Q為直線y=2與直線y=12x+3的交點，即為0e97b97bba20ce4f1c8c305bcccb32d8圖1中的點Q1，點Q1的坐標為（－2，2）.此時點P即為點P3，AP3=Q1B=2，所以點P3的坐標為（1，0）.

綜上所述，符合題目條件的平行四邊形存在.若AB為邊，則P，Q兩點的坐標分別為（－3，0），（－2，2）或（－9，0），（－10，－2）；若AB是對角線，則P，Q兩點坐標分別為（1，0），（－2，2）.

評注 坐標平移法的基本思路就是依靠平行四邊形“對邊平行且相等”的性質，將未知點和其對應的點結合起來，利用已知點之間的關系，得到構成平行四邊形的點的坐標.要注意的是“平行四邊形ABCD”和“以A，B，P，Q四點為頂點的平行四邊形”是不同的，前者的四個定點在平面上是按順序排列的，而后者則不需要.因此，在構造平行線時要注意兩者之間的區別.

方法2 對角線平分法

解 因為點P是x軸上的一個動點，點Q在直線y=12x+3上，

所以P，Q兩點的坐標分別為（a，0），（b，12b+3）.

①若AB，PQ是對角線，則AB與PQ互相平分，即AB與PQ的中點重合.

因為點A的坐標為（－1，0），點B的坐標為（0，2），

所以AB中點的坐標為（－12，1），PQ中點的坐標為（a+b2，b+64），

則a+b2=－12b+64=1，

解得a=1b=－2，所以P（1，0），Q（－2，2）.

②若AP，BQ是對角線，則AP與BQ互相平分，即AP與BQ的中點重合.

因為AP中點的坐標為（a－12，0），

BQ中點的坐標為（b2，b+104），

所以a－12=b2b+104=0，

解得a=－9b=－10，

所以P（－9，0），Q（－10，－2）.

③若AQ，BP是對角線，則AQ與BP互相平分，即AQ與BP的中點重合.

因為AQ中點的坐標為（b－12，b+64），BP中點的坐標為（a2，1），

所以b－12=a2b+64=1，

解得a=－3b=－2，

所以P（－3，0），Q（－2，2）.

評注 利用平行四邊形“對角線互相平分”的性質，從而在平面直角坐標系中設出頂點的坐標，并利用中點的條件，列出關于坐標的方程，再結合已知條件，即可解出頂點的坐標.

3 結語

解決平行四邊形存在性問題，要充分討論各種存在的情況，辨析題目要求，做到不重復也不漏解.此外，結合圖形利用坐標平移法解答此類問題時還可以借助向量進行運算，找到相等關系利用平行四邊形“對角線互相平分”列出方程求解也是解題的關鍵，在解題時要根據具體情況選擇合適的方法.