函數定義域在解題中的重要作用

函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域看似非常簡單，然而在解決問題中不加注意，常常會使人誤入歧途，導致錯誤。在解函數題中強調定義域對解題的作用與影響，對提高學生解決函數問題的能力，逐漸形成良好的數學思維品質十分有益。

一、函數解析式與定義域

函數解析式包括定義域和對應法則，所以在求函數的解析式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數解析式可能是錯誤的。如:

例1:某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100 m，求矩形的面積S與矩形長x的函數解析式。

解:設矩形的長為x米，則寬為(50-x)米，由題意得

S=(50-x)

故函數解析式為S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還不夠完整，缺少自變量的取值范圍。也就是說，學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題不符，所以還應補上自變量的取值范圍0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若沒有考慮這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性;若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好的嚴密性。

二、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此，在求函數值域時，應注意函數定義域。如:

例2:求函數y=4x-5+ 的值域。

錯解:令t= ，則2x=t2+3。

∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+ )2+ ≥ ，

故所求的函數值域是[ ，+∞)。

剖析:經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函數，

所以當t=0時，ymin=1.

故所求的函數值域是[1， +∞)。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

三、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如:

例3:指出函數f(x)=log2(x2+2x)的單調區間。

解:先求定義域:

∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2。

∴ 函數定義域為(-∞，-2) (0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈(-∞，-2)上時，u為減函數;在x∈(0，+∞)上時， u為增函數。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞)上是增函數，

∴函數f(x)=log2(x2+2x)在(-∞，-2)上是減函數，在(0，+∞)上是增函數。

即函數f(x)=log2(x2+2x)的單調遞增區間是(0，+∞)，單調遞減區間是(-∞，-2)。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念理解不準確，只會對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

四、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如:

例4:判斷函數y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性。

解:∵2∈[-1，3]，而-2[-1，3]，

∴ 定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱，

∴ 函數y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函數。

如果學生如以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性;

如果學生不注意函數的定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論:

∵ f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，

∴ 函數y=x3，x∈[-1，3]是奇函數。

錯誤剖析:因為以上做法是在沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成的，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

因此，在求解函數關系式、值域、單調性、奇偶性等問題中，若能做到首先探求函數的定義域對解題結果有無影響，就能使學生提高解決函數問題的綜合能力，有利于培養學生的良好解題習慣和思維品質。