引導(dǎo)學(xué)生探究教材 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

[摘 要] 在國際金融危機(jī)的大背景下，創(chuàng)新作用更加凸顯。結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，以教材為載體培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力;廣闊性思維是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的翅膀，發(fā)散性思維是訓(xùn)練創(chuàng)新思維的重要途徑，批判性思維是思維創(chuàng)新的基礎(chǔ)，獨(dú)創(chuàng)性是創(chuàng)新思維的靈魂。

[關(guān)鍵詞 ] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 數(shù)學(xué)教材 創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是人類思維的高級(jí)形式，是依據(jù)研究對(duì)象所提供的各種信息，打破認(rèn)識(shí)常規(guī)，尋求變異，想出新方法，從多方面尋求答案的開放思維方式，是一切創(chuàng)造性活動(dòng)的基礎(chǔ)和核心。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的主陣地，如何充分借用教材成為學(xué)生借以培養(yǎng)創(chuàng)新思維之源，讓它散發(fā)自身所特有的光輝魅力，有待于教師對(duì)教材中問題的挖掘與再創(chuàng)造，有待于學(xué)生對(duì)教材中問題的探索與再發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)就如何利用教材培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，談一些自己的做法。

一、對(duì)數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)等分析探究，培養(yǎng)學(xué)生的思維廣闊性

思維的廣闊性指思維發(fā)揮作用的廣闊程度，在思考問題時(shí)善于類比、聯(lián)想，會(huì)多方面、多角度地周密思考，善于溝通問題與問題之間的縱橫聯(lián)系和演變能力，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的翅膀。

案例一:新課程浙教版七(下)5.4乘法公式(1)P115-116研究了平方差公式，其結(jié)論為:兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探究:

1.練習(xí):

①(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq; ②(a+2)(a-2)=a2-4;③(3-x)(3+x)= 9-x2 ;④(2m+n)(2m-n)=4m2-n2。

2.探究問題，類比、歸納結(jié)論。

問題1:引導(dǎo)觀察①與②③④小題等式左邊均為兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，而乘法運(yùn)算的結(jié)果項(xiàng)數(shù)有何不同?

問題2:那么具備什么樣特征時(shí)積才會(huì)是二項(xiàng)式呢?觀察②③④小題，等式左邊有哪些特點(diǎn)?

問題3:它們的積結(jié)果有什么特征?觀察②③④小題，等式右邊有哪些特點(diǎn)?

問題4:假如我們用a、b來表示這兩個(gè)數(shù)，你能用這兩個(gè)字母表達(dá)出剛才我們所說的等式嗎?

這個(gè)案例由一般的兩個(gè)二項(xiàng)式的積，與較特殊的兩個(gè)二項(xiàng)式的積進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們的積的項(xiàng)數(shù)不同，從而引發(fā)思考，提出新問題，歸納出關(guān)鍵所在是二項(xiàng)式的特征不同，再利用特殊到一般的方法得出平方差公式。

3.數(shù)形聯(lián)想，再次探究。

問題5:你能利用以下三類圖形A、B、C，根據(jù)圖形的面積關(guān)系直觀說明平方差公式嗎?

分步探究:

(1)從公式的右邊聯(lián)想，應(yīng)構(gòu)造一個(gè)邊長為a的正方形，從中剪去一個(gè)邊長為b的正方形，利用圖形A、B、C能拼成一個(gè)正方形(圖(1))嗎?面積如何表示?

(2)從公式的左邊聯(lián)想，應(yīng)構(gòu)造一個(gè)長、寬分別為a+b，a-b的長方形，那么利用圖形A、B能拼成一個(gè)長方形(圖(2))嗎?面積如何表示?

(3)結(jié)合(1)(2)中的拼圖產(chǎn)生的面積的關(guān)系判斷(a+b)(a-b)，a2，b2之間的數(shù)量關(guān)系?

(4)能否將圖甲變?yōu)閳D形乙?如何變換?這過程中兩個(gè)圖形面積有何關(guān)系?

圖(1) 圖(2)

根據(jù)這幾個(gè)問題的探究，把平方差公式中等號(hào)兩邊的整式特點(diǎn)聯(lián)想到正方形與長方形的面積，從圖形與面積之間關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想驗(yàn)證平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 。利用數(shù)形的聯(lián)想，從不同角度多方位認(rèn)識(shí)平方差公式， 這樣才能使學(xué)生的思維呈輻射狀展開，從而開闊視野。

二、對(duì)例題進(jìn)行深入探究，培養(yǎng)發(fā)散性思維

發(fā)散思維是對(duì)問題從不同角度進(jìn)行探索，從不同層面進(jìn)行分析，多方面尋求多樣性答案的一種展開性思維，是訓(xùn)練創(chuàng)新思維的重要途徑。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，一定要吃透問題，把握問題實(shí)質(zhì)，打破思維的定式，改變單一的思維方式，盡量地拓展思路。

案例二:新課程浙教版七(下)P12《1.3三角形的高》。

如圖(3)，在△ABC中， AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線。已知∠BAC=82°，∠C=40°。求∠DAE的大小。

解法一:∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，

∴∠BAE=∠EAC=41°。

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°。

∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，

∴∠DAC=50°，

∴∠DAE =∠DAC-∠EAC = 50°-41°=9°。

探究:本例還有其他解法嗎?

解法二: ∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，

∴∠BAE=∠EAC=41°。

在△AEC中，利用三內(nèi)角和與△AEC外角性質(zhì)得

∠DAE =∠AEC-∠ADC=99°-90°= 9°。

同一問題有多種不同的解法，學(xué)生在思考問題時(shí)就能從多方向、多角度、多手段、多途徑入手，在常規(guī)解法基礎(chǔ)上就會(huì)盡可能多地提出自己新穎的見解，對(duì)知識(shí)的理解更全面，更透徹。

三、對(duì)教材課后練習(xí)進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維

思維的批判性是指思考問題時(shí)不受別人暗示的影響，能嚴(yán)格而客觀地評(píng)價(jià)和檢查思維的結(jié)果，冷靜地分析結(jié)果利弊是非，有主見地評(píng)價(jià)事物的思維品質(zhì)，是思維創(chuàng)新的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師要積極地培養(yǎng)學(xué)生善于鑒別問題的可能性，注意引導(dǎo)學(xué)生不拘一格地活躍思路，鼓勵(lì)他們對(duì)問題進(jìn)行獨(dú)立推測、猜想，認(rèn)真檢驗(yàn)自己提出的假設(shè)。

案例三:浙教版八下課本第147頁作業(yè)題第3題。

如圖(4)，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連結(jié)CE、BG。求證:BG=CE。

猜想:若將條件正方形AEDB和正方形ACFG 改變，結(jié)論是否依然成立呢?

變式檢驗(yàn):分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正三角形ABD和正三角形ACE，連結(jié)CD、BE。求證:BE=DC。

再提猜想:分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正五邊形呢?……分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正n邊形呢?能否得出類似結(jié)論?

本題通過對(duì)條件的質(zhì)疑，利用猜想把原題進(jìn)行變式訓(xùn)練，把向外作正方形改為正n邊形，但本質(zhì)還是運(yùn)用三角形的全等知識(shí)解決，萬變不離其宗，設(shè)計(jì)目的是通過辨析，揭示問題的實(shí)質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，使知識(shí)進(jìn)一步理解和內(nèi)化，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑與契而不舍的學(xué)習(xí)精神，從而有利于提高思維的批判性。

四、利用閱讀與材料拓展延申，發(fā)展學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)性思維

獨(dú)創(chuàng)性是創(chuàng)新思維的靈魂，指思維活動(dòng)的方式不僅善于求同，更善于求異。這種創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)，表現(xiàn)在概念的掌握與理解之上，將新知識(shí)、新概念同化到已有的概念和知識(shí)系統(tǒng)中去，還能利用新知識(shí)、新概念去改造舊概念;憑借已有的知識(shí)和技能去探索未知的新知識(shí)、新技能，甚至創(chuàng)造新事物。

案例四:新課程浙教版七(下)P131的“閱讀材料”中介紹了著名的“楊輝三角”和兩數(shù)和的乘方，并指出兩數(shù)和的乘方計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)(簡稱系數(shù)表)中隱含很多有趣的排列規(guī)律。可以以此引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“楊輝三角”做進(jìn)一步的探究。

問題一:根據(jù)它的系數(shù)表的規(guī)律，你能說出(a+b)6計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式有幾項(xiàng)?(a+b)n 呢?

問題二:根據(jù)它的系數(shù)表的規(guī)律，計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和有何規(guī)律?你能用n的代數(shù)式表示嗎?

問題三:取兩數(shù)差的乘方(a-b)n，制作計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)表，并探究各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)有何規(guī)律，各項(xiàng)系數(shù)和為多少。

以上問題可以由學(xué)生以學(xué)習(xí)小組形式，通過實(shí)驗(yàn)討論、猜想、歸納規(guī)律，整理探究結(jié)果:

(1)(a+b)6計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式有7項(xiàng)，(a+b)n有n+1項(xiàng)。

(2)(a+b)n計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和為2n。

(3)把(a-b)n看做[a+(-b)]n得系數(shù)表如圖(5):

發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)規(guī)律，即:

當(dāng)項(xiàng)位于偶數(shù)位置時(shí)符號(hào)為負(fù)，項(xiàng)位于奇數(shù)位置時(shí)符號(hào)為正，其系數(shù)絕對(duì)值呈對(duì)稱性相等，故各項(xiàng)系數(shù)和為0。

這種問題一般都以問題串的形式出現(xiàn)，思維水平由低到高，讓學(xué)生綜合思考、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，找到解決問題的新思路、新方法，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律，有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與發(fā)展。

在新課程理念下，教師不是“教教材”而是“用教材教”，通過對(duì)教材的內(nèi)涵的挖掘，不僅使教材更加豐滿、生動(dòng)，更具新意，還能在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與運(yùn)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、合作意識(shí)、責(zé)任意識(shí)，以及學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新精神。讓教材作為培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的搖籃，讓創(chuàng)新在數(shù)學(xué)課堂中成長，讓數(shù)學(xué)在創(chuàng)新中神采飛揚(yáng)。

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