多變換域馬爾可夫樹圖像去噪算法

摘 要：針對圖像去噪時單一變換方法的不足，提出了一種新的基于Contourlet變換和小波變換的多變換分級圖像降噪算法。根據Wavelet變換和Contourlet變換系數對圖像中不同頻帶信號的稀疏表示特點，利用隱馬爾可夫樹（HMT）模型可以描述相鄰尺度變換域系數的互相關性。首先使用小波域HMT方法進行第一級降噪，然后將其作為先驗估計，利用Contourlet變換進行迭代閾值降噪。通過與幾種傳統的小波域HMT和Contourlet域HMT去噪算法相比，本算法改善了去噪圖像的可視性并使PSNR值有所提高。

關鍵詞：圖像去噪； Contourlet變換； 隱馬爾可夫樹； 多尺度

中圖分類號：TN911文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2009)06-2377-02

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2009.06.114

Algorithm of multi-transform domain HMT image denosing

WANG Wen-tao1，2， WANG Guo-you1， ZHANG Tian-xu1

（1.Institute for Pattern Recognition Artificial Intelligence，Huazhong University of Science Technology， Wuhan 430074， China; 2. School of Computer Science， South-Centre University for Nationalities， Wuhan 430074， China）

Abstract:

To overcome the drawback of the preference of one kind of transform used in image denosing a proposed， new multi-level denoising approach based on Contourlet transform and Wavelet transform. Analysed the statistical information of image sparse representation of the wavelet domain coefficients and the Contourlet domain coefficients. Captured the character of more cross-correlations of transform domain coefficients between two neighboring scales in the HMTmode. The first image denosing was used by wavelet domian HMT method. Applied the threshold iterative denosing based on Contourlet transform in the next one by using the first result for prior estimates value. The experimental results indicate that it is better than several traditional wavelet HMT denosing and Contourlet HMT denosing algorithms in smoothing noise and preserving texture and details， and improving the PSNR.

Key words： image denosing; Contourlet transform; HMT(hidden Markov tree); multiscale

小波變換因其具有多分辨率、可同時進行時/頻域的局部分析、靈活地對信號局部奇異特征進行提取和時變濾波的特性，基于小波變換的圖像去噪方法已被人們廣泛而深入地研究。1998年，Crouse等人 [1]對隱馬爾可夫的鏈式結構進行了擴展并結合小波變換與多尺度馬爾可夫模型，提出了小波域隱馬爾可夫樹（HMT）模型。HMT很好地刻畫了小波系數的統計特征，對加性噪聲干擾的圖像有較好的降噪效果。然而，雖然小波變換能很好地表示零維的點狀奇異性，對圖像中的點和平滑區域的稀疏表示性能優異，但二維小波變換是由一維小波變換直接用張量積擴展得到的，它缺乏方向性，不具有各向異性。在高維情況下，圖像特征主要表現為各種類型的曲線或曲面，即線或面的奇異性，用小波進行表示并不是漸進最優的^[3]。近年來，多尺度幾何分析理論(multiscale geometry analysis，MGA)的提出和發展彌補了小波變換的這一缺陷。目前，MGA方法主要有Ridgelet、Wedegelet、Curvelet和Bandelet變換等。2002年，Do等人^[2]提出了一種新的Contourlet變換。Contourlet變換是一種真正的圖像二維表示方法^[3]，它能用不同尺度、不同頻率的子帶更準確地捕獲圖像中的分段二次連續曲線，具有方向性和各向異性，從而使表示圖像邊緣的Contourlet 系數能量更加集中，或者說Contourlet 變換對于曲線有更稀疏的表示。文獻[4]提出將HMT統計模型應用于Contourlet變換系數進行圖像去噪的處理，雖然在圖像邊緣的可視性有所提高，但與使用基于小波的HMT去噪算法比起來，去噪圖像的PSNR值反而有所降低。為此，本文提出一種新的結合Wavelet變換低頻平滑處理特性與Contourlet變換高頻曲線逼近特性的圖像降噪方法。實驗結果表明，本算法改善了去噪圖像的可視性并提高了PSNR值。

1 小波域HMT模型

小波系數之間的相關特性主要由不同尺度間系數的傳遞性來描述，即小波系數值的大小與其父輩的系數值有關，同時影響它的子代系數值^[1]。HMT模型利用樹狀馬爾可夫結構來反映小波系數在尺度間的相關性，具體地說，是利用多尺度上的馬爾可夫鏈對小波系數對應的隱狀態而非系數本身建模，因此被稱為小波域HMT模型。HMT的隱狀態表示了小波系數的大小狀態。大狀態的小波系數用大方差的高斯分布建模；小狀態的小波系數用小方差的高斯分布建模。每個小波系數的邊緣分布被兩個或多個混合元的混合高斯分布來建模。若已知第i個節點小波系數狀態概率，則小波系數Wi的概率密度函數為

fWi(wi)=∑m∈(S，L)pSi(m)fWi|Si(wi|Si=m)(1)

其中：fWi|Si(wi|Si=m)為wi的條件概率密度函數；m為小波系數狀態變量Si的一個實現，fWi|Si(wi|Si=m)=g(wi;μi，m，σi，m)。狀態Si的取值為S，L；S對應于小方差σ2s的高斯分布；L對應于大方差σ2L的高斯分布，PSi(L)=1－PSi(S)。

小波系數狀態的Markov的依賴關系被描述為：任一節點i的小波系數的狀態僅依賴于其父節點ρ(i)小波系數的狀態。這種依賴關系可用狀態轉移矩陣來表示，即

Ai=εS，Si，ρ(i)εL，Si，ρ(i)εS，Li，ρ(i)εL，Li，ρ(i)(2)

其中：εS，Si，ρ(i)表示小波系數Wi的父系數狀態較小的情況下Wi的狀態也有較小的概率。εS，Si，ρ(i)=pSi|Sρ(i)(S|Sρ(i)=S)，εS，Li，ρ(i)=1－εS，Si，ρ(i)，εL，Si，ρ(i)=1－εL，Li，ρ(i)。

2 Contourlet變換理論

Contourlet變換是利用拉普拉斯塔形分解(Laplacian pyramid，LP)和方向濾波器組(directional filter bank，DFB)實現的一種多分辨的、局域的、多方向的圖像表示方法，它繼承了Curvelet變換的各向異性的多尺度關系。

首先由LP變換對圖像進行多尺度分解以捕獲點奇異。每一級分解產生一個上一級信號的低通采樣，和由低通采樣與上一級信號的差值得到的一個帶通分量。下一級分解是在產生的低通采樣上迭代進行，完成多尺度分解。為了完成完全重構，要求分析濾波器H和綜合濾波器G在二采樣下為正交或雙正交。

L級樹型結構的方向濾波器組DFB把LP分解得到的帶通圖像的頻譜劃分成2L個楔形頻率子帶，以完成Contourlet各個尺度上的方向分解^[6]。DFB的楔形頻譜劃分是利用梅花扇形濾波器組QFB的方向頻率分解和用重采樣矩陣實現的旋轉操作相結合得到的。DFB的第一層是雙通道扇形梅花濾波器組，把二維頻譜分解為水平和垂直兩個方向。從第二層開始，每一個子通道用不同的重采樣矩陣旋轉扇形濾波器得到不同方向的通頻帶，與前面得到的通頻帶相重疊的部分為子通道的通頻帶，從而實現頻譜劃分。為了各向異性尺度法則，要求尺度金字塔每精細兩層，分解的方向數加倍。

3 基于Contourlet變換和小波域HMT的圖像去噪

圖像的低頻部分包含較多的平滑信息，適合于用Wavelet變換處理。對于其高頻部分，由于包含較多的細節，如線段、邊緣等信息，用Contourlet變換處理優勢明顯。

3.1 小波域HMT估計去噪

在HMT模型中，小波系數被看成是多個高斯源混合而成，因此受到高斯白噪聲污染圖像的模型參數中只是高斯源的方差加上噪聲的方差，而其他參數不變，即用受到噪聲污染圖像訓練得到的高斯源的方差γ2i，m滿足

σ2i，m=(γ2i，m－σ2n)+(3)

其中：σ2n是N(0，σn2)高斯噪聲的方差；σ2i，m為混合模型的方差。噪聲方差σ2n由最細尺度系數的中值估計得到。

假設對X進行小波變換得到低頻部分的小波系數{wki}可表示為wki=yki+nki。其中:wki為含噪聲圖像小波系數；yki為原圖像小波系數；nki為噪聲小波系數。首先將HMT與yki匹配，再將這一模型看成先驗分布，用于計算對應wki的yki的條件平均估計。在已知信號小波系數yki的狀態ski后，這一估計問題就轉換為含有噪聲的0均值高斯隨機變量估計的一維問題。已知wki和ski時，條件均勻估計為

E(yki|Wki=wki，Ski=m)=[σ2i.m/（σ2n+σ2i，m）]wki(4)

在小波系數和模型已知的情況下，隱藏狀態概率p(Ski|Wk，θ)可以由EM算法得到。最后，由這些狀態概率可得到yki的條件均值估計：

yki=E[yki|Wk，θ]=∑mp(Ski=m|Wk，θ)×[σi，m/(σ2n+σ2i，m)]wki(5)

最終的還原信號由所得估計系數經由逆小波變換得到。

3.2 基于Contourlet變換的閾值去噪

通過觀察發現經過小波域HMT去噪后，圖像的整體質量雖然得到提高，但圖像的高頻信號即圖像的邊界還不夠清晰，同時殘留著部分噪聲。為此，本文采用文獻[7]的方法對圖像進行二次降噪處理。主要思想是將由小波域HMT去噪后的圖像的低頻信號作為最終還原信號的低頻部分，而將這個低頻值作為還原信號的高頻部分的初始先驗估計，利用Contourlet變換對圖像的邊緣及紋理信息稀疏的表示能力，通過基于固定閾值的Contourlet變換進行迭代，進一步地濾除高頻噪聲，同時近似還原出原始信號高頻分量。具體步驟如下：

a）設二次去噪圖像的初始估計為

I0=H(X)(6)

其中：X為噪聲圖像；H記為小波域HMT去噪算子。

b）第k步迭代

I~k+1=W－1(P⊥WC－1DTkCIk~+PWI0~)(7)

其中：C與C－1為Contourlet變換及其逆變換；W與W－1為Wavelet變換及其逆變換；P為對角投影矩陣，它使得低通小波系數被保留，P⊥=I－P；Tk為Contourlet變換系數的閾值；DTk為對角矩陣，作用是保留有意義的Contourlet變換系數，即保留那些大于閾值的變換系數。

c）調整閾值Tk+1=Tk-ρ， ρ為閾值調整變量。

d）返回步驟b）直到達到設定的迭代次數或收斂條件為止。

4 實驗結果與討論

實驗選取512×512的標準灰度Lena圖像，對本文去噪算法進行驗證，并與相關算法進行了對比。實驗中分別施加σn=30，40，50不同噪聲水平的高斯白噪聲，所用到的小波變換分解層數為9，Contourlet變換進行的總分解層數j=5，Contourlet各層的方向分解數目選定為2j，其中j為分解層數，二次降噪的迭代次數設為k=25。表1給出不同強度噪聲的Lena圖像及圖像去噪PSNR對比結果，δn表示加性噪聲強度的等級。圖1給出了Lena圖像使用不同方法去噪后的圖像。其中，（a）為原始圖；（b）為加噪圖像；（c）為小波域HMT去噪得到的圖像；（d）為本文提出算法得到的圖像。

從實驗結果看，用本文算法去噪得到的PSNR值均高于小波域HMT和Contourlet HMT去噪方法。這是因為小波變換系數對圖像的平滑區域（主要集中于低頻子帶）有好的稀疏表示性，Contourlet變換系數對圖像的邊緣信號（主要集中域高頻子帶）的稀疏表示性能較強，而變換域低頻系數的能量往往高于其高頻系數的能量，所以小波域HMT去噪的PSNR值較Contourlet HMT去噪的值較高，但在細節再現程度上Contourlet HMT去噪法要好于小波域HMT去噪法。本文利用小波變換和HMT對圖像的低頻部分進行一級去噪處理，再利用Contourlet變換對圖像中的連續曲線和邊緣進行逼近處理，從而進一步抑制噪聲增強圖像的邊緣，實現第二級圖像去噪。本文算法能在PSNR值和圖像的可視性上都得到一定的改善。但當噪聲強度較大時，由于作為初始估計的小波域降噪誤差增加，導致用Contourlet變換進行第二級迭代降噪的效果下降。

5 結束語

本文提出了一種結合小波域隱馬爾可夫樹和Contourlet變換的分級多變換多閾值去噪算法。將Contourlet多尺度、多分辨率、多方向性的優點用于圖像的二次去噪，改善了一般小波去噪后圖像細節缺損嚴重、而用Contourlet HMT去噪時PSNR有所降低的問題，在去除噪聲的同時較好地保留了原始圖像的高頻信息，并使去噪后圖像的PSNR得到改善。

參考文獻：

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