一種基于雙混沌映射的加密算法設計與應用

(中南大學 信息科學與工程學院，長沙 410083)

摘 要：提出了一種基于logistic和Henon的雙混沌映射加密算法，通過級聯一維混沌系統和二維混沌系統，利用復合迭代所產生的混沌序列對明文進行加密，開發了算法的模擬實驗平臺。實驗結果表明，與傳統DES和基于Lorenz的加密相比，該算法在加密強度和運算效率上達到了較好的均衡。

關鍵詞：邏輯映射；Henon映射；混沌映射；加密；解密

中圖分類號：TP309文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2009)04-1512-03

Design and application of encryption algorithm based on double chaos map

LI En， WU Min， XIONG Yong-hua(School of Information Science Engineering， Central South University， Changsha 410083， China)

Abstract:The paper presented an encryption algorithm of double chaotic map based on logistic and Henon.By cascading one-dimensional chaos system and two-dimensional chaos system，used chaotic series produced by composite reconstruction in encryption for plain text.It exploited the simulated experiment platform of the algorithm.Compared with conventional DES encryption and encryption algorithm based on Lorenz， the simulation shows that the new algorithm has good performance in balancing encryption intension and operation efficiency.

Key words:logistic map；Henon map; chaos map; encryption; decryption

混沌現象是一種由確定性系統產生、對初值極為敏感、類似隨機的過程，混沌信號具有類噪聲、寬頻譜等特性，非常適合于序列加密[1，2]，因此將混沌理論應用于加密，已成為近年來的一個研究熱點。混沌理論是一門新興的交叉理論，其應用于密碼學上，具有保密性強、隨機性好、密鑰量大、更換密鑰方便等特點；此外，在抗干擾性、截獲率、信號隱蔽等方面同樣具有潛在的優勢。盡管混沌加密具有上述特點和優勢，但目前混沌理論在密碼學上的實際應用中還存在諸多難點與問題，如混沌系統在計算機或其他數字系統實現時，由于對混沌映射的參數和狀態模擬精度的限制，使混沌序列表現出短周期、強相關及局部線性的缺點，在較小精度實現下的混沌系統不適合加密。



為解決上述混沌系統安全穩定應用方面的問題，國內外研究人員從提高保密性能出發進行了許多的探索和研究。例如文獻[3，4]將混沌加密與常規加密級聯，利用混沌信號不可預測性以及常規密碼系統的成熟密鑰空間設計技術和安全性易于評估的特性，設計出的混合密碼使兩類系統優點互補，但這樣的系統大多是通過硬件實現的，因其運算量大，對硬件要求較高；文獻[5，6]將多個混沌模型混合，該算法密鑰空間大、對明文和密鑰敏感，可以抵抗利用差分特性、統計特性和相空間重構對系統進行的攻擊，但該算法選用多個混沌模型后，也同樣導致計算量大增，僅適合于對安全性較高的場合；文獻[7，8]通過偽隨機序列加入擾動，使得混沌加密序列的周期更長、復雜度更高，但其參數選擇和判定目前還存在一定的困難。因此，現有的對混沌理論加密的研究，往往只考慮到安全性，而沒有顧及到算法的運算效率，或過多地考慮運算效率而忽視了算法的安全強度，在實時性高的場合應用難度較大。

1 雙混沌映射的加密與解密模型

混沌加密是利用混沌系統產生混沌序列作為密鑰序列，利用該序列對明文加密，密文經信道傳輸到接收方；混沌是確定的，由非線性系統的方程、參數和初始條件完全決定，只要系統參數和初始條件相同，可以完全重構出來，因此接收方容易構造出與發送方同樣的混沌系統，實現同步，從而將明文信號提取出來實現解密[9]。目前己有很多混沌和超混沌系統模型供人們研究。其中一維的有logistic映射混沌系統[10]、Tent映射[11]等；二維的有Cat映射[12]、Dufing方程[13]等；三維的有Lorenz系統[14]、蔡氏混沌系統[15]等；四維的有Rossler超混沌系統等[16]。三維和四維的高維混沌系統相對于一維和二維的混沌系統有更大的密鑰空間，其安全性較高，但其用到較頻繁的浮點運算，對計算機的計算精度要求高，同時也降低了計算速度。由于高維混沌系統的應用尚處于不成熟階段，一維logistic映射和二維Henon混沌系統更加適合于廣泛應用。

1.1 Logistic映射與Henon映射

1）Logistic映射 該映射由生物學家R.May于1976年提出，是一個簡單又具有重要意義的非線性迭代方程[10]：xn+1=μxn(1-xn)。其中：xn∈（0，1）；控制參數μ∈（0，4]。該方程形式是完全確定的，也不包含任何隨機因素，當3.569 945 6＜μ≤4時，由該映射產生的序列呈現出混沌態；當取μ=4時，獲得典型的logistic映射：xn+1=4xn(1-xn)。

Logistic映射的優點可概括為：a)對初始值非常敏感。對于相差10-16的初始值，迭代出來的軌跡差別也十分明顯；混沌動力系統具有確定性，給定相同的初始值，其相應的軌跡肯定相同，可以輕而易舉地獲得數量極多的非相關序列，因此一般情況下，很難從一段有限長度的序列來推斷出混沌系統的初始條件。b)形式簡單。只要混沌映射的參數和初始條件就可以方便地生成、復制混沌序列；不必浪費空間來存儲很長的整個序列。c)具備白噪聲的統計特性，可以用于需要噪聲調制的眾多應用場合。

總體來看，logistic混沌模型的迭代方程簡單，混沌加密參數只有一個，這決定了其加密運算速度很快，特別比高維的混沌系統要快很多，但其密鑰空間較小，安全性稍差。

2）Henon映射 天文學家Henon從研究球狀星云團以及從Lorenz吸引子得到啟發，在1976年提出了一個二維非線性混沌系統。其方程如下[17]： 

xk+1=1+yk-ax2k

yk+1=bxk（1）

其中，當1.05

從混沌理論可知，二維的Henon映射產生的混沌偽隨機序列完全滿足均勻分布、δ-link的自相關、O互相關的性質。本文應用經典的Henon映射，主要是基于三個方面的原因：a）理論上對其混沌行為的研究比較深入；b）它具有很好的密碼學特性；c）Henon映射是二維的，可提供的密鑰空間比較大。

1.2 雙混沌映射模型框架

基于單一混沌系統或多個混沌系統的混沌加密算法，其設計的關鍵是對混沌映射的選擇，不同的混沌映射在算法實現復雜度、算法時間和空間復雜度以及安全性等方面都有較大差異。本文所提出雙混沌加密算法就是從算法的實現、速度和安全性考慮，既能達到較小的時間和空間復雜度，又能有較大的密鑰空間和較高的安全性，避免單混沌系統可能出現的信息泄露問題。由此將logistic加密速度快和Henon的參數選擇范圍廣、密鑰空間大的特點結合起來，提出一種基于logistic混沌映射和Henon映射的混沌系統。其混沌加/解密框圖如圖1所示。

不同的文件內部格式不一樣，但任何文件都是以二進制形式存放在計算機中的，這一特性使得系統能夠處理不同類型的文件。用戶首先對明文數據進行預處理，通過編程以二進制的方式打開文件；然后選用初始值和輸入參數，并將這些數作為雙混沌映射模型的密鑰，從而得到一個混沌序列；混沌序列與明文數據進行異或運算得到密文；解密過程與加密過程基本對應，通過雙混沌映射模型，用相同的密鑰輸入得到混沌序列與密文異或計算得到明文。

1.3 加密與解密算法

圖1中所提到的雙混沌映射模型詳細設計如圖2所示。選定Henon和logistic映射的初始值x0、y0和三個內部參數a、b、u作為密鑰，算法中的xn、yn、x′n為中間迭代結果。具體算法如下：

a)針對式(1)，先選定Henon映射的初始值x0、y0和兩個參數a、b作為密鑰。

b)迭代10次，得到xn、yn。

c)將x0×y0的乘積值M取絕對值，將|M|-[|M|]得到的數作為logistic方程xn+1=μxn(1-xn)的初始值，并以u為參數。如果|M|-[|M|]=0，則返回到a），重新輸入初始值或參數。

d）迭代10次，得到x′n。

e)計算x′n×100，并取乘積的2，4，6，8，10位組成一個五位二進制數與256取余，得到一個位密鑰流，與明文作異或運算，就形成一個密文字節。

f)迭代10次，得到xn+1、yn+1、x′n+1，反復執行e)和f)，直到所有明文字節都加密完畢。

其中：b)和d)迭代次數保證了Henon映射和logistic映射都進入混沌迭代狀態，而為了保證運算速度，次數僅選10次；步驟c)是為了保證logistic映射輸入初始值為0~1的數。

2 實驗結果與性能分析

2.1 實驗平臺設計

雙混沌映射加/解密實驗平臺主要要求能夠讀取圖片，然后選擇雙混沌加/解密算法對圖片進行加密、解密、顯示、存儲、傳輸等操作，并記錄各種算法的相關性能參數。實驗平臺的應用軟件在Windows操作系統、Visual Basic 6.0環境下開發完成，主要包括以下四個模塊（圖3）：

a）文件加載模塊。主要用來選擇需要加密或解密的文件，由DriveListBox控件、DirListBox控件、FileListBox控件、CheckBox控件及LoadFile函數組成。

b）加密參數輸入模塊。五個Lable控件用來顯示logistic映射和Henon映射參數輸入的說明內容；五個TextBox控件用來輸入初始條件和控制參數；Check-Box控件用來改變TextBox控件的PasswordChar屬性，可以設置輸入的數據是否顯示。

c）加密效果顯示模塊。采用兩個FileBox控件：一個用來當做輸入文件的容器；一個用來顯示加密文件內容，配合HScrollbar控件和VScrollBar控件在容器內實現加密文件的瀏覽。

d）常用控件模塊。為保存加密或解密的文件，引入CommonDialog控件。三個CommandButton控件和VScrollBar控件，一個用來對特加密文件進行加密或解密，一個用來保存加密或解密的文件，另一個為退出。保存文件是通過SaveFile語句實現的。

2.2 實驗結果

通過本文所設計的雙混沌映射加/解密實驗平臺軟件，讀取一幅圖片，用復合迭代所產生的混沌序列對圖片進行加密和解密。下面首先用本文設計的加密測試軟件進行安全性測試。圖4（a）是在一組內部參數設置下加密的效果圖。其參數為 μ=3.835，a=1.01，b=0.3，x0=0.200 000 000，y0=0.100 000 000。對加密后的圖像采用相同的密鑰解密后的效果圖如圖4(b)；(c)是將x0設為0.200 000 001、y0設為0.100 000 001，其他值不變的情況下得到的效果圖。可見，即使密鑰存在細微的差別，也不能夠對密文正確地解密。仿真結果表明，算法對密鑰非常敏感，這說明本文提出的基于雙混沌映射的混合混沌系統對系統參數及初始條件是非常敏感的。

再用本文算法與DES加密和基于Lorenz加密進行加/解密速度比較。實驗運行計算機為2.8 GHz CPU/1 GB RAM/ Microsoft Windows XP操作系統。其實驗結果如表1所示。可見，本文加密方法的加/解密速度很快，因此很適用于大數據量、實時性要求高的消息加密。

表1 三種加密算法加/解密速度比較

測試圖像

名稱 長×寬

基于雙混沌映射的密碼

加密/s解密/s

基于Lorenz的密碼

加密/s解密/s

DES算法

加密/s解密/s

apple 128×1280.020.010.050.030.500.44

boats 256×2560.030.020.060.051.921.87

forest 640×4800.080.060.220.228.838.20

city 1 024×7680.210.211.21.3522.4223.18

children 2 048×2 0480.730.703.443.32122.10120.68

2.3 性能分析 

本文提出的算法選定三個內部控制參數和兩個初始狀態作為密鑰，密鑰空間是很大的，單以兩種映射的初值所形成的密鑰空間計算已達2×1032個。即使在已知加密算法使用logistic和Henon映射的情況下，繞過窮舉密鑰攻擊轉而通過窮舉間接獲得三個內部控制參數也是不可能實現的。與單個混沌系統產生的偽隨機序列相比，本文設計的雙混沌系統序列密碼具有更高的安全性。另外，因為混沌加密屬于序列密碼，分組加密的攻擊方法對它是無效的。同時，對選擇明文/密文攻擊方法，由于混沌的單向性和混沌信號的迭代處理，異或操作后密鑰流的推斷幾乎不可能。而分析DES和AES算法的加密方式可知其主要是反復替代和置換，因此加密時間較長，而其56位的密鑰在當前看來也顯得不足。

雙混沌映射加密屬于流密碼的范疇，其準備時間非常短。加密時由于只對數據的各個位進行異或操作，其時間主要花費在密鑰流的生成操作上，相對于目前流行的分組加密算法和復雜的高維混沌加密系統，本文算法動力學方程簡單，計算機處理的都是簡單的基本運算，其加密效率很高。雙混沌映射加密算法沒有S-box空間，由于采用的雙混沌映射都只是一維和二維的線性映射，臨時變量也比較少；而且，它通過循環產生密鑰流，循環過程中需要寄存的變量很少，實現簡單。因此，其運行時占用的空間很少。

3 結束語 

本文結合運用Henon和logistic映射，通過建模和設計軟件，使兩個不同的混沌信號經過非線性函數變換后所產生的混沌載波完全不同于這兩個混沌映射本身，實現了對消息的安全快速加密，安全性能等價于高維混沌系統的加密，且大大縮短了加密時間，實時性較高，在消息加密中有一定的應用價值。

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