基于輪廓波消噪的門限選取方法研究

（1.信陽師范學院 物理電子工程學院， 河南 信陽 464000；2.華中科技大學 多譜信息處理技術國家重點實驗室， 武漢 430074）

摘 要：簡單地回顧了輪廓波變換的基本原理和基于輪廓波變換的消噪方法；與小波消噪門限選取原則相比較，得出了輪廓波變換消噪的門限選取原則和參考閾值，指出參考閾值的選取應該低于小波最優門限3σ，并給出一些不同門限下小波消噪和輪廓波消噪的實驗結果。實驗和理論分析表明，基于輪廓波變換的消噪方法在門限選取上略不同于小波的3σ原則，合理的門限參數應當是2.5σ。門限的選取從3σ下降到2.5σ，使得基于輪廓波變換消噪的峰值信噪比提高0.3 dB左右，視覺效果也有一定程度的改善。

關鍵詞：輪廓波變換；消噪；門限；小波變換；峰值信噪比

中圖分類號：TN911.3文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2009)04-1566-03

Threshold selection of contourlet-based de-noising

CHEN Xin-wu1，2，LIU Wei2，TIAN Jin-wen2

(1.College of Physics Electronic Engineering， Xinyang Normal University， Xinyang Henan 464000，China；2.State Key Laboratory for Multi-Spectral Information Processing Technology， Huazhong University of Science Technology， Wuhan 430074， China)

Abstract:Briefly reviewed contourlet transform principle and contourlet-based de-nosing method.Then comparing with the threshold selection principle of wavelet de-nosing，gave the fundamental of choosing threshold and the reference value of contourlet-based de-noising.The reference value should be lower than that in wavelet domain.Provided the experimental results on different threshold of wavelet and contourlet.Experimental results and theoretical analysis show that the threshold of contourlet-based de-nosing is a little different from the wavelet-based de-nosing method in which the 3σ law is optimal， and the suitable value for the contourlet is 2.5 σ.Due to the threshold decrease down to 2.5σ from 3σ， the PSNR of contourlet-based de-nosing can increase about 0.3 dB and the visual effect is improved in a certain degree.

Key words:contourlet transform; de-noising; threshold; wavelet transform; PSNR

0 引言

如何有效地將圖像中的噪聲分割出去一直是圖像處理領域熱門而困難的問題。所有的圖像消噪方法可以粗略地分為兩類：直接對時（空）域信號進行處理；先將圖像信號轉換到變換域上，在變換域中進行合適的處理（消噪）后再變換回空域（或時域）。由于變換域方法的本質是將圖像信號映射到另外一個函數空間進行信號處理，而另外一個函數空間能夠很方便地區分噪聲信號和圖像信號，具有獨特的優勢而得到快速的發展。基于離散傅里葉變換、離散余弦變換、離散小波變換等消噪方法都是這類方法的典型代表，特別是小波變換，由于本身獨特的變焦特性而備受推崇[1]。從20世紀80年代后期到現在，小波變換一直是圖像消噪領域乃至更廣闊的圖像處理領域的重要手段。但是，圖像信號是一種二維信號，而小波的最優表示則局限于一維信號，由可分離小波張成的二維函數空間不能有效地描述數字圖像信號的形狀信息，即幾何特征，因此在小波域不能有效地將噪聲信號和圖像物體的幾何特征有效地區別開來[2]。這個問題的本質在于小波基的方向個數較少，不能有效地描述數字圖像中的紋理和方向信息。為了解決這個問題，近十年來，許多學者開展了大量的研究工作。這些工作可以大體分為兩種類型：a）自適應基幾何多分辨率分析方法。這類方法根據具體的圖像特征來生成基函數，因此需要較大的運算量和較多的存儲空間。b）固定基幾何多分辨率分析。這種變換方法采用固定的多方向基來對圖像進行分解，雖然未能達到本質上最優的收斂速度，但是已經與理論極限非常接近；而且由于該類變換運算量要小很多，所需存儲空間也較小，備受應用工程師的喜愛。固定基表示方法中最典型的代表應該是曲線波變換[3]和輪廓波變換[4]。曲線波變換直接定義在連續空間，因此對于離散化實現具有較大的困難；而輪廓波變換則直接定義在數字域，更容易用計算機來實現快速算法，因此受到越來越多的工程人員關注。自從2002年輪廓波提出以來，由于它具有更豐富的方向基，可以更方便地提取圖像中各種物體的邊界信息和幾何特征（而噪聲信號往往沒有這種比較規則的幾何信息），在該變換域更容易識別噪聲，從而可以更方便地將其從有用信號中剔除，具有良好的消噪能力。但是，幾乎所有的消噪文獻都直接繼承了小波消噪算法中普遍采用的門限選取規則，即3σ準則。本文的目的在于闡明這種門限準則雖然適用于小波消噪，但是對于基于輪廓波變換消噪這種特殊的方法，門限選取應當為2.5σ。

1 輪廓波變換的基本原理與實現

任何一種變換都可以看做是將信號從一個空間到另外一個空間的映射，在這樣兩個不同的空間中，信號表現出不同的分布特征。輪廓波變換也不例外，它之所以適用于描述自然圖像，

在式(1)中，λ(lj)L+j，k，n的作用類似于小波，只是它具有更豐富的方向信息，允許在j尺度上將細節圖像進一步分解為2j個方向子空間。正如傅里葉變換、離散余弦變換、小波變換等一樣，輪廓波變換實質上是對圖像信號的分解。其特殊之處在于它較多地考慮了圖像中的幾何信息，能夠更細致地將圖像信息分解到更多的方向子帶中。

輪廓波變換的基本實現方法是采用拉普拉斯金字塔加方向濾波器結構。拉普拉斯金字塔實現圖像的多分辨率分解；方向濾波器則進一步實現方向信息的提取和前一級相同方向系數的合并，如圖1所示。

輪廓波變換具有幾個顯著的特色，這里需要強調一下：

a）輪廓波展式定義在矩形柵格上，圖像像素在矩形柵格上被采樣。輪廓波核函數λ(lj)j，k對于不同的方向，k必須是不同的，且不能通過一個單個函數的簡單旋轉來獲得。

b)由于輪廓波展式被定義在矩形柵格上，輪廓波變換的2-D頻率分區是方形中心的。

c）因為輪廓波函數是像小波一樣通過迭代濾波器組定義的，輪廓波變換具有快速濾波器組算法及方便的樹狀結構。

d）使用FIR濾波器，可迭代的輪廓波濾波器組導致了緊湊支撐的輪廓波框架。更準確地說，輪廓波函數λ(lj)j，k，n具有的支撐尺寸為width≈C2j，length≈C2j+lj-2。換句話

2 輪廓波閾值消噪的基本方法及其優點

基于輪廓波變換消噪的基本方法為：首先將被噪聲污染的圖像進行輪廓波變換，然后選取一確定的門限，將小于門限的系數認為是噪聲產生的干擾，需要濾除掉；門限之上的系數則被認為是有用信號，予以保留。

(lj)j，k=sign(c(lj)j，k)×(|c(lj)j，k|-th)|c(lj)j，k|≥t

0|c(lj)j，k|≤t(2)

目前應用最廣泛的是Dohono提出的硬閾值和軟閾值消噪方法[7，8]。在進行閾值消噪之前，最關鍵的問題之一就是估計信號的噪聲水平。對于圖像消噪而言，隨機噪聲將產生顯著的高頻小波系數，正如真正的邊界一樣，但是產生顯著的輪廓波系數的可能性則小很多。因此，應用簡單的門限方案在輪廓波變換上比應用于小波上進行消噪更為有效。

如前所述，眾多的學者在使用輪廓波進行消噪研究時，將研究重點放在軟閾值改造、偽GIPS現象消除等問題上，對于門限選擇問題則未進行探討，而是直接將小波消噪的3σ結論直接拿來使用。本文將致力于解決使用輪廓波消噪門限的選取問題。 

3 輪廓波消噪門限的選取原則

由于噪聲主要表現為高頻信號特征，在使用輪廓波變換進行消噪時，應該特別關注最細節子帶。由于最細節子帶占據了整個頻帶的一半，其中所包含的噪聲強度應當高于其他尺度。對于高頻子帶，根據已有的經驗將其選取為其他子帶門限的4/3倍[4]。

由輪廓波變換的基本原理和實現方法可知，輪廓波變換的第二級，也就是方向濾波器組，能夠將拉普拉斯金字塔濾波器組分解的子帶圖像內的數據進行合并，合并的原則是將方向基本一致的系數按照矢量加法原則進行。因此經過輪廓波變換之后的系數，整體系數平均值將比小波變換之后的平均值稍大。由于輪廓波變換具有33％的冗余，輪廓波變換后的系數比小波系數多出33％，而非零系數的數目則遠遠小于小波變換系數的數目。此項結論可以用圖2進行描述，具體的理論推導可以參看文獻[4]。

在圖2中，描述了采用小波變換和輪廓波變換進行曲線逼近的場景。(a)是小波變換的描述；(b)是輪廓波變換的描述。最粗糙的尺度上要描述圖中曲線，使用小波變換，需要三個系數來描述，而使用輪廓波變換則可以只使用一個系數；在最細節的尺度上，小波需要12個系數而輪廓波變換則僅需要4個系數。

根據能量不變特性，輪廓波變換的非零系數的平均值要大于小波變換域非零系數的平均值；且輪廓波域的最大值一定大于小波域的最大值。然而對于圖像數據而言，歸一化的結果將壓縮噪聲系數的分布范圍。因此，對于同一幅含噪圖像而言，輪廓波變換系數不同于小波變換系數的整體結果將是：a）在輪廓波域，信號與噪聲分別有更好的聚類特征，信號系數朝更大的方向偏移；系數合并和歸一化的結果將使得噪聲系數朝更小的方向偏移，噪聲和信號更容易分離。b）在輪廓波域，噪聲系數被壓縮到更小的空間。為了更多地保留信號系數，必須適當降低門限值。下面將通過對峰值信噪比的實驗說明，基于輪廓波變換消噪的門限值選取為2.5σ可以獲得更理想的效果。

4 實驗結果與分析

本文給出幾組有代表意義的實驗結果，實驗對象如圖3所示，分別是Lena、Barbara和Peppers圖像。本文在實驗中利用了M. N. Do博士的contourlet軟件包，并在MATLAB 7.0環境下運行。為了便于比較基于輪廓波變換消噪與基于小波變換消噪在門限參數選取上的不同效果，在考慮輪廓波消噪效果與閾值關系的同時，也一并考慮小波消噪效果與門限之間的關系。參數選取如下：a）小波變換消噪中使用的濾波器為“9-7”小波，分解層數為四層。b）輪廓波變換消噪中的噪聲強度rho=3;拉普拉斯金字塔濾波器選擇“9-7”小波，方向分解濾波器選擇“pkva” （即“pkva12” ）；nlevs=[0， 3， 3， 4， 4]，即細節層數為四層，從最高頻率向粗糙尺度方向，各個尺度上方向個數依次為24，24，23，23。

圖4~6分別給出了Lena、Brabara和Peppers圖像在不同的閾值下小波消噪和輪廓波消噪的效果。這里采用PSNR參數來衡量消噪的效果（盡管該參數并不是惟一的衡量標準，但到目前為止，還沒有更好的指標可以用來進行比較）。從圖4中可以看出，對于小波而言，Lena、Barbara、Peppers最優的閾值分別為3.2σ、2.8σ和3.2σ。3σ閾值取得了幾乎最優的消噪結果；而輪廓波消噪則不同，這三個實驗對象所對應的最優門限分別為2.2σ、2.6σ和2.5σ，它的最優門限應該在2.5σ附近。從圖中可以看出，由于門限從3σ調整到2.5σ附近，三幅圖像的PSNR平均可以提高0.3 dB左右。

對于Barbara圖像，輪廓波消噪方法在所有的閾值上都優于小波；而Lena和Peppers圖像則不同：在較低的閾值上（小于3σ左右）輪廓波消噪比小波具有更大的PSNR值，而在較高的門限下則低于小波。因此，輪廓波變換的消噪效果從PSNR這個參數上來看并不總是優于小波。由于輪廓波變換能夠更好地描述圖像中的幾何信息，輪廓波變換消噪的視覺效果仍然優于小波變換的消噪效果。

5 結束語

輪廓波作為一種新型的幾何多分辨率分析的手段，已經受到眾多圖像圖形研究人員和工程人員的高度重視。基于輪廓波變換的消噪方法，由于其對幾何特征有較好的提取能力而備受青睞。本文從輪廓波變換的基本原理入手，分析了基于輪廓波變換消噪方法中閾值的選取原則，并通過實驗說明該門限值應該為2.5σ，略低于小波消噪的門限值3σ。如果選用該門限值，則可以使得消噪之后圖像的峰值信噪比略有提高（0.3 dB左右）。雖然這種提高并不明顯，但是由于沒有添加任何計算量，這種做法對于實際工作仍然具有一定的指導意義。

參考文獻：

［1］

MALLAT S.A wavelet tour of signal processing[M].Burlington:Academic Press，1999.

[2]PENNEC E L，MALLAT S.Sparse geometric image representation with bandelets[J].IEEE Trans on Image Processing，2005，14(4):423-438.

[3]CANDES E J，DONOHO D L.New tight frames of curvelets and optimal representations of objects with piecewise c singularities[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，2004，57(2):219-266.

[4]DO M N，VETTERLI M.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Trans on Image Processing，2005，14(12): 2091-2106.

［5］BURT P J，ADELSON E H.The Laplacian pyramid as a compact image code[J].IEEE Trans on Communications，1983，31(4):532-540.

[6]BAMBERGER R H，SMITH M.A filter bank for the directional decomposition of images:theory and design[J].IEEE Trans on Signal Processing，1992，40(4):882-893.

[7]DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613-627.

[8]DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage[J].Biometrika，1994，81(3):425-455.