一道幾何題的幾種解法

黃金旺

幾何題往往能一題多變，一題多解.同學們若能經常有目的地進行這類習題的訓練，探尋解題思路與方法，掌握靈活多變的解題技巧，親自感受到獲得解題新思路和新方法的愉快感，將有利于自身開拓思維.開發智力，有助于培養自己的創新興趣和創新能力，現舉例分析如下：

題目：正方形ABCD內一點P,∠PAD =∠PDA=15°，連結PB、PC，請問：△PBC是等邊三角形嗎？為什么？

解法一：

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴AP=PD ∠PAB=∠PDC=75°

又∵AB=CD

∴△PAB≌△PDC（SAS）

∴BP=PC

在正方形內作∠EDC=∠ECD=15°，DE與CE交于E點，連結PE，顯然∠DEC =150°

∴△APD≌△CED（ASA）

∴DP=DE

∠PDE=∠ADC－∠ADP－∠CDE

=90°－15°－15°=60°

所以，△EDP為正三角形，

∴PD=PE=ED

又∠PEC=360°－（∠PED＋∠DEC）

=360°－（150°＋60°）

=150°

∴∠PEC=∠DEC

∴△DEC≌△PEC（SAS）

∴PC=DC

從而，BP=PC=BC

即：△PBC為等邊三角形．

解法二：

以AD為邊向外作等邊△AED.再連結EP．

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴AP=PD

在△EAP和△EDP中

△EAP≌△EDP（SSS）

∴∠1=∠2=60°

在△EAP和△BAP中

EA=AB∠EAP=∠BAPAP=AP=75°

∴△EAP≌△BAP（SAS）

∴∠3=∠1=30°

同理可知：∠PCD=30°

∴∠PBC=∠PCB=60°

即：∠BPC=60°

∴△PBC是等邊三角形．

解法三：（反證法）

假設△PBC不是正三角形，由已知條件推得PB=PC

即假設PB=PC≠BC

不妨設PB＞BC，則在△ABP中，∠BAP＞∠APB

即：∠APB＜75°，而∠DPC=∠APB

所以∠DPC＜75°

又∠APD=180°－∠PAD－∠ADP

=150°

所以∠BPC=360 °－（∠APD＋∠APB ＋∠DPC）＞60°

同時在△BPC中，由PB=PC＞BC

∴∠PBC=∠PCB＞∠BPC,得∠BPC ＜60°

這與∠BPC＞60°矛盾，故PB＞BC不能成立

同理PB＜BC也不能成立

故PB＝BC，即△PBC為正三角形．

解法四：（同一法）

以BC為邊作正△BEC，連結BE、CE、AE、DE，

則BE＝CE=BC ∠EBC=∠ECB=60°

又∵BC=AB

∴AB=BE

∴∠ABE=90°－∠EBC=90°－60°=30°

∴∠BAE=∠BEA=75°

∴∠EAD=15°

同理可證：∠EDA=15°

因此，EA與PA重合，ED與PD重合

從而，△PBC為正三角形．

除了上述證法外，本題還有其他證法，教師可鼓勵學生開拓思維，集思廣益考慮出更多的論證方法．