有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的有限元分析

趙大為 王 勇 吳聲敏 江 山 董仁義

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064

有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的有限元分析

趙大為 王 勇 吳聲敏 江 山 董仁義

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064

基于有限元法，研究有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔振性能。利用波動(dòng)方程建立復(fù)合結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，用有限元法對(duì)其離散，最后進(jìn)行數(shù)值仿真。結(jié)果表明，有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率隨著散射體密度的增加而減小，隨著散射體直徑的增大，隔振效果越好，并且有效隔振頻率范圍隨散射體直徑的增大而增大。

周期；有限元法；隔振；復(fù)合結(jié)構(gòu)

1 引言

有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)由有限尺寸的彈性材料組成，在基體中周期性地鑲嵌散射體，當(dāng)彈性波在受到彈性常數(shù)及密度的周期性調(diào)制時(shí)，會(huì)產(chǎn)生彈性波帶隙，即在一定頻率范圍內(nèi)的彈性波的傳播將被抑制或禁止。因此，有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)在艦船低頻減振降噪［1－3］、抗沖擊［4］、水下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［5］、振動(dòng)濾波器、新型傳感器等方面，具有廣泛的應(yīng)用前景。

有限元方法自20世紀(jì)50年代創(chuàng)立以來(lái)，在艦船研究領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用［6－10］。有限元法基于集中質(zhì)量思想，在低頻范圍內(nèi)具有收斂好、易于計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)。本文試圖利用有限元法對(duì)有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并對(duì)其隔振性能做了初步評(píng)估。

2 有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)模型和假設(shè)

本文所研究的周期復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中給出坐標(biāo)軸x1和x2的方向，x3方向垂直于紙面向上。為了分析的方便起見(jiàn)，圖1中已經(jīng)人為地將復(fù)合結(jié)構(gòu)周期地劃分為單層結(jié)構(gòu)。陰影部分A為基體材料，其中周期插入了球狀散射體B，其直徑均為d。其間距a為x1方向的晶格常數(shù)，b為x2方向的晶格常數(shù)，h為x3方向的晶格常數(shù)。本文僅討論該周期復(fù)合結(jié)構(gòu)沿x1方向的隔振效果，為了后面的計(jì)算方便，作如下假設(shè)：

圖1 有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖

1）外激勵(lì)力為簡(jiǎn)諧函數(shù)，且沿x1方向垂直入射到周期復(fù)合結(jié)構(gòu)上；

2）基體A和球狀散射體B由均勻、各向同性、連續(xù)材料組成。

3 有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

以左下角第一個(gè)球狀散射體的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，球狀散射體B的中心在x1，x2，x3上的坐標(biāo)為（ma，nb，lh），其中m，n，l＝0，±1，±2，…。設(shè)外激勵(lì)力大小為F（u1）eiωt，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中，u1，u2分別為沿 x1，x2軸方向的振動(dòng)位移；λ，μ為材料的拉梅（Lame）常數(shù)；ρ為材料密度。

在周期復(fù)合結(jié)構(gòu)層與層之間的邊界處必須滿足兩點(diǎn)假設(shè)，即位移u1連續(xù)和應(yīng)力張量T1連續(xù)。

波動(dòng)方程式（1）的位移場(chǎng)解可以表示為：

外激勵(lì)力作用到周期復(fù)合結(jié)構(gòu)上，能量通過(guò)彈性波的形式傳播，于是有：

式中，i1代表沿坐標(biāo)軸x1方向的單位矢量；kL為彈性波的波數(shù)，kL＝。

由球狀散射體關(guān)于x2和x3的周期排列，以及散射體表面的零作用力，使得uS1（x）的周期形式可以在x2和x3坐標(biāo)上用指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示。為了寫(xiě)出該級(jí)數(shù)的一般表達(dá)式，這里采用常用的位移分解方法，將u（x）表示成標(biāo)量勢(shì)函數(shù)φ（x）和矢量勢(shì)函數(shù)ψ（x）的形式［4］：

式中，φ（x）和ψk（x）分別滿足含縱波波速kL和橫波波速kT的波動(dòng)方程：

式中，角標(biāo)“＋”的應(yīng)用范圍為x1＞0，角標(biāo)“－”的應(yīng)用范圍為x1＜0；

式中，彈性橫波波數(shù)kT=；彈性橫波波速cT=

對(duì)于小阻尼結(jié)構(gòu)，彈性波波數(shù)為：

式中，ηs為材料的結(jié)構(gòu)損耗因子。

為了對(duì)有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，將彈性波波動(dòng)方程式（1）寫(xiě)成矩陣形式，即：

式中，微分算子

4 有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的有限元分析

4.1 網(wǎng)格劃分

圖2是3×3周期復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖。本文采用ANSYS有限元分析軟件，選擇四面體單元Solid 45并用自由網(wǎng)格對(duì)所研究的周期復(fù)合結(jié)構(gòu)劃分網(wǎng)格，圖3為其網(wǎng)格劃分結(jié)果。為了顯示方便，將基體和內(nèi)嵌散射體分開(kāi)表示，其中圖3（a）表示基體的網(wǎng)格劃分結(jié)果，圖3（b）表示內(nèi)嵌散射體的網(wǎng)格劃分結(jié)果。

圖2 3×3周期復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 3×3周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分

由于基體與內(nèi)嵌散射體是獨(dú)立的兩個(gè)實(shí)體，因此，在網(wǎng)格劃分完成以后，還需要解決各單元的聯(lián)結(jié)問(wèn)題。一般是將各單元重復(fù)的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行合并，使位移和力能夠通過(guò)結(jié)點(diǎn)傳遞下去。

4.2 迭代算法步驟

下面將本文采用的有限單元法和中心差分法逐步求解有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的算法步驟歸納如下：

1）根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和單元位移｛u｝（r）（r＝1，2，…）建立單元局部坐標(biāo)系；

6）各單元作用到結(jié)點(diǎn)上的力，｛F（u）｝（r）＝（式中負(fù)號(hào)代表反作用力），得到不平衡力，｛ΔF（u）｝（r）＝｛F（u）｝＋｛F（u）｝（r）＝

7）求解結(jié)構(gòu)平衡方程，［K］（r）｛Δu｝（r＋1）＝｛ΔF （u）｝（r），得到第r＋1次迭代的位移增量｛Δu｝（r＋1），于是｛u｝（r＋1）＝｛u｝（r）＋｛Δu｝（r＋1）；

8）給出位移、速度和加速度t＝0時(shí)刻的初始條件，u0，˙0，¨0；

9）選擇時(shí)間步長(zhǎng)Δt，并計(jì)算積分常數(shù)c0＝

10）將積分常數(shù)代入式（1），每次迭代完成后增加一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt，一直計(jì)算到時(shí)刻t，即可得到第r＋1次迭代的振動(dòng)位移；

11）反復(fù)迭代，直到收斂條件｛ΔF｝趨近于0，否則返回到第1）步繼續(xù)運(yùn)算。

5 結(jié)果分析及討論

計(jì)算時(shí)所用主要參數(shù)選取：晶格常數(shù)a＝0.05 m，b＝0.05 m，h＝0.05 m；基體材料為硅橡膠，其密度為ρA＝1 300 kg／m3；拉梅常數(shù)λA＝6×105Pa，μA=4×104Pa，彈性模量EA＝7.84×106Pa，泊松比vA＝0.47；球狀散射體分別為銅和鋁，其主要材料屬性為 ρCu＝8 356 kg／m3，拉梅常數(shù) λCu＝1.726×1010Pa，μCu＝7.527×1010Pa，彈性模量ECu＝1.08×1011Pa，泊松比vCu＝0.31；ρAl＝2 799 kg／m3，拉 梅 常 數(shù) λAl＝5.895 5×1010Pa， μAl＝2.681 2×1010Pa，彈性模量EAl＝6.8×1010Pa，泊松比vAl＝0.32。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)點(diǎn)的位置在坐標(biāo)（0，0.075，0.075）處，且其位移激勵(lì)的幅值為0.001 m；輸出點(diǎn)的位置在坐標(biāo)（0.15，0.075，0.075）處。

5.1 數(shù)值仿真結(jié)果

本文對(duì)三維3層周期復(fù)合結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，即n＝3。

表1列出了本文所研究的有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)當(dāng)散射體直徑為d＝0.03 m、材料分別為Cu和Al時(shí)的前10階模態(tài)頻率。

散射體直徑分別為d＝0.02 m、0.03 m和0.04 m時(shí)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞率隨頻率f的變化曲線如圖4～圖6所示。其中圖（a）和圖（b）表示散射體分別為銅和鋁的情況，并且實(shí)線表示無(wú)阻尼時(shí)的情況，短虛線表示考慮橡膠的阻尼系數(shù)為0.000 1的情況，長(zhǎng)虛線表示考慮橡膠的阻尼系數(shù)為0.000 5的情況。

5.2 數(shù)值仿真結(jié)果討論

從表1可以看出，有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率隨著散射體密度的增加而減小。從圖4～圖6可以看出，周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的基頻隨著散射體直徑的不同而不同，且隨散射體材料的不同而變化不大。當(dāng)散射體直徑由0.02 m增加到0.04 m時(shí)，振動(dòng)衰減率的極值也逐漸減小，由－17dB降到－28 dB以下，即隨散射體直徑的增大振動(dòng)衰減越厲

表1 有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)頻率

圖4 散射體直徑d＝0.02 m時(shí)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔振性能曲線圖

圖5 散射體直徑d＝0.03 m時(shí)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔振性能曲線圖

圖6 散射體直徑d＝0.04 m時(shí)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔振性能曲線圖

害。在低頻范圍內(nèi)，當(dāng)散射體直徑為0.02 m時(shí)，周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的有效隔振頻率范圍為46～190 Hz；而當(dāng)散射體直徑增大到0.04 m時(shí)，周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的有效隔振頻率范圍為39～200 Hz以上。為此，可以得出有利于工程設(shè)計(jì)的一些結(jié)論。

1）有限周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率隨著散射體密度的增加而減小；

2）周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的基頻隨著散射體直徑的不同而不同，且隨散射體材料的密度不同而有所變化；

3）隨著散射體直徑的增大，周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的減振效果越來(lái)越好；

4）周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的有效隔振頻率范圍隨散射體直徑的增大而增大。

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Finite Element Analysis of Vibration Isolation System for the Periodic Composite Structure

Zhao Da-wei Wang Yong Wu Sheng-min Jiang Shan Dong Ren-yi
China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China

Based on finite element method and central difference method，the vibration isolation performances of finite periodic composite structure are studied.The mathematical model is established by the wave equation.The structure is discreted by finite element method and central difference method.Finally，numerical simulation is carried out.The results show that the modal frequencies of the structure decrease with the increase of the density of the inner scatterers，the effect of vibration isolation gets better with the increase of the diameter of the inner scatterers，and the effective frequency ranges of vibration isolation get wider with the increase of the diameter of the inner scatterers.

period；finite element method；vibration isolation；composite structure

O328，TH113.1

：A

：1673－3185（2009）01－43－04

2008－05－04

趙大為（1982－），男，工程師，碩士研究生。研究方向：船舶系統(tǒng)。E-mail：zdw1811＠yahoo.com.cn

王 勇（1974－），男，工程師，博士。研究方向：船舶系統(tǒng)