基于混合法的內部結構聲分析

彭偉才 趙高煜 何 锃

華中科技大學力學系，湖北武漢430074

基于混合法的內部結構聲分析

彭偉才 趙高煜 何 锃

華中科技大學力學系，湖北武漢430074

有限元法（FEM）是廣泛接受的分析耦合結構聲（SA）系統動力響應的預報工具。由于隨頻率增加計算模型也增加導致基于單元的方法在實際中約束在低頻段。一種替代方法是基于間接Trefftz法的基于波動方法（WBM）。但WBM的不足之處在于高計算效率只針對中度復雜的幾何模型。為了利用兩者的優勢：FEM的廣泛應用和WBM的高收斂特性，提出了混合FE－WB預報法（FEM－WBM）?；驹硎菍E模型中較大且幾何簡單的部分采用WBM代替。得到的耦合模型仍具有較少的自由度。簡要描述了FEM、WBM以及混合FEM－WBM的理論基礎。最后將該方法應用于一個簡單的結構聲模型，理論分析結果與數值仿真計算結果吻合較好，該混合方法有潛力覆蓋中頻段。

結構聲分析；直接耦合；混合方法；基于波動方法；有限元法

1 引言

封閉空腔內的噪聲主動控制問題具有重要的工程應用背景，如土木、工業和防御設施等場所的降噪。有源結構聲控制（ASAC）［1－3］，來自噪聲有源控制（ANC），利用結構的振動作為次級聲源來消除初級聲源產生的聲場。然而封閉空腔聲場主動控制的理論研究中涉及到的一個基本問題是結構聲耦合作用。在噪聲的主動控制中，許多工程問題如汽車駕駛室、飛機機艙等都簡化為簡單形狀的聲腔由彈性結構包圍。耦合結構振動和聲場構成振動聲系統。

過去通常采用解析和實驗的方法研究結構聲問題。早期的研究者如 JUNGER，FEIT［4］和DOWELL等［5］發展了一種基于模態理論框架的內部聲場預報方法。自從那以后許多研究者致力于研究結構聲耦合問題，提出了能量法、格林函數法、聲彈性法、覆蓋域法和數值方法等。

能量法，如SEA或者EFM［6］，不適合低頻以及不能提供封閉空腔內聲壓分布的詳細信息。

另一種方法稱之為聲彈性法［7］，該方法需要采用FEM來得到非耦合結構的單個模態信息和剛性壁聲腔的聲場。然后將兩者進行耦合最后得到結構聲耦合方程。實驗證明該方法計算效率比較高。雖然其也可以應用于較復雜腔體的分析，然而得到復雜腔體的模態信息目前仍要借鑒試驗手段或有限元法。

LUO等［8］提出了格林函數法。該方法根據模態疊加原理，從格林函數的觀點出發，結合流體的波動方程和結構振動方程，導出了系統的聲壓和速度響應表達式。雖然擺脫了對模態解析解的依賴，但是模態疊加法導致計算收斂速度非常慢以及精度低。

WU等［9］提出了可以預報任意形狀聲腔內部聲場的解析法。覆蓋域法結合流體波動方程和結構振動方程，應用聲學互易原理，給出了封閉腔體在外力作用下其內的聲壓分布解析解。球諧函數展開的解析式進行數值計算時，收斂很慢，尤其在kR（k為波數，R為覆蓋球半徑）稍大時，需計算相當多的級數項以達到較高的精度。球諧函數中（n-m）?。╪＋m）！的高階因式分解通常難以達到計算要求的精度，有時甚至得不到計算結果。ZHANG和CHEN［10］對該方法的精度和效率進行了改進。

現今廣泛應用的有限元和邊界元（BE）也存在一些缺點：FE存在發散現象；而BE因為其復數、非對稱矩陣需要大量的計算時間。

一種替代方法是由DESMET［11］提出的WBM。VAN HAL［12］提出了基于聲壓和速度連續的間接耦合方法，并且已經成功應用到了二維的聲問題。由于引入了自由度框架，間接耦合模型增加了額外的自由度。本文主要討論直接耦合方法。我們已經利用該方法完成了耦合振動聲系統建模分析［13－16］。

本文描述了三維耦合振動聲系統建模方法的基本概念。分別討論了FEM和WBM的理論背景。最后通過混合FE－WB模型算例對該方法進行了討論。

2 基本定義

圖1所示為3D結構與聲耦合模型。聲域V的邊界 Ωa包括 4個部分（Ωa＝Ωp∪Ωv∪ΩZ∪Ωs）。在邊界Ωp，Ωv和ΩZ分別為壓力、法向速度和法向阻抗邊界條件，而邊界Ωs由彈性平板組成，平板的邊界為Гs。腔內充滿密度為ρa和聲速為c的流體。板材料屬性為：密度為ρs，泊松比為v，彈性模量為E和材料損耗因子為η。法向集中力F作用在板的rF′（xF′，yF′）處。

域V內任意點r（x，y，z）的聲壓p由赫母霍茲方程控制。

圖1 三維結構與聲耦合模型

考慮到集中力F以及聲壓的耦合作用，板的法向位移w（x′，y′）控制方程為：

其中，p（r′）為作用在板上的腔內聲壓。該載荷只影響板的橫向位移，所以結構聲耦合效應轉換成式（2）中的額外載荷項，它正比于“濕”表面上的聲壓。

耦合結構與聲問題的邊界條件。

其中，p（r）為已知壓力函數，vn（r）為已知法向速度函數，Z（r）為已知法向阻抗函數以及w（r）為彈性邊界上的法向位移；n為邊界法向（規定由內向外為正方向）。板的邊界ΓS存在兩類邊界條件：

邊界Γw上為運動學邊界條件。

邊界Γt上為力學邊界條件。

其中，w（r′）和T（r′）分別為邊界上已知橫向變形分量和力分量。

3 FEM和WBM回顧

3.1 FEM分析結構聲系統

考慮聲壓場p和位移場w由局部定義的基函數 Na和 Ns的展開式來近似［12］。

引入的誤差通過積分的方法使其為零，將式（3）～式（8）分別轉換到聲腔和結構對應的加權余量公式中。

其中，Wa和Ws為加權函數。

將近似函數和加權函數代入式（11）～式（12）得到下列FE模型。

其中，Ks和Ka，Cs和 Ca，Ms和Ma分別為結構和聲的剛度矩陣、阻尼矩陣和質量矩陣。Fs和Fa為結構和聲的外部節點向量。Kc為耦合項。耦合剛度矩陣和質量矩陣都是與頻率無關的，但與非耦合的模型相比，這些耦合矩陣不再是對稱矩陣。主要因為流體對結構的載荷正比于聲壓，導致了耦合剛度矩陣中出現交叉耦合矩陣Kc；而結構對流體的載荷正比加速度，導致了耦合質量矩陣中出現交叉耦合矩陣－ρaKTc。

3.2WBM分析結構聲系統

WBM采用滿足控制方程的近似函數。近似函數由滿足式（1）～式（2）的全局定義基函數Фa和Ψs以及考慮外部激勵的特解函數組成［12］。

其中，未知系數pa構成向量p以及ws構成向量w。

聲學邊界條件的加權余量公式

結構邊界條件的加權余量公式

聯立式 （16）～式（17）得到結構聲模型

求解式（18）中的未知系數pa和ws，然后帶入式 （14）～式（15）得到整個系統的振動響應結果。

4 耦合FEM－WBM

耦合FEM－WBM試圖結合FEM和WBM各自的優勢，即WBM的高收斂特性和FEM對任意幾何形狀的適應能力。在實際中通常一個簡單形狀的聲腔由復雜的彈性結構包圍。對于比較簡單的結構WBM可以處理，但是對于比較復雜的結構采用FEM比較適合。而聲腔可以采用幾何形狀比較簡單的一個或者多個WB子域建模。當然也可以采用FE離散，但為了達到較好的精度在臨近濕表面的聲腔需要非常細的網格。本文主要討論直接耦合法，即在WB域和FE域的界面ΩH同時引入連續性邊界條件，其中Ω為界面上的FE單元域，圖2為直接耦合法的示意圖。

圖2 直接耦合法

在耦合FE－WB模型中，結構振動和聲壓場的直接耦合可以通過聲模型的強制速度連續性條件（6）和在結構方程中引入聲壓載荷來實現。耦合FE－WB模型采用非耦合方法中結構位移和聲壓的場變量展開式。在耦合方程中引入展開式可以得到一組直接聯系兩個物理域自由度的代數展開式。FE域的加權余量公式增加了作用到結構上的聲壓載荷。在WB方程（16）中引入結構聲耦合界面ΩH上的速度連續性條件的加權余量公式。

其中，ne為界面單元數。

聯合兩個域的加權余量公式，應用伽遼金方法代入加權函數 p~（r），最后組裝FE域就可以得到整個系統關于節點結構位移分量w和波函數系數p的矩陣方程。

其中，Zf和ff為FE系統矩陣；A和b為WB系統矩陣。耦合矩陣Qfw定義為：

其中，Nf為FE形函數，Φ為WB波函數。

矩陣Zf是FE系統矩陣，它是對稱、稀疏和有限帶寬矩陣。矩陣A是WBM的系統矩陣，它是稠密矩陣，但一般要比矩陣Zf小（nw＜＜nf）。因為只有FE節點自由度位于界面ΩH上而應用波函數到與界面相鄰的WB域得到的是非零矩陣系數，所以耦合矩陣Qfw是稀疏的長方矩陣。對于這類復雜的方程需要經過特別處理才能求解。

5 數值算例與分析

計算模型為如圖3所示系統。域的特征尺寸為 Lx＝0.5 m，Ly＝0.5 m，Lz＝0.75 m，Lzm＝0.5 m，Lxm＝0.25 m。聲腔中充滿空氣，密度ρa＝1.225 kg／ m3，聲速c＝340 m／s。其中彈性結構為鋁板：泊松比v＝0.3，彈性模量E＝7×1010N／m2，密度ρs＝2 790 kg／m3，材料損耗因子η＝0，厚度t＝2×10－3m。其余邊界條件為剛性壁 vn＝0 m／s。單位力F作用點rF′＝（0.1，0.1）m。

混合模型計算平臺為MATLAB環境，數值模型計算平臺為SYSNOISE 5.5。表1給出了由FE計算得到的7階板模態和7階聲腔模態。

圖3 板與聲腔耦合模型

表1 平板和聲腔的固有頻率

為了比較耦合FEM－WBM的性能，構造了4個模型?；旌夏Ｐ?采用50個FE單元；混合模型2為100個；混合模型3為200個；作為參考模型的數值計算模型則采用625個板有限單元和4 151個邊界單元。

圖4和圖5為板法向位移變形圖和聲腔內y′＝0.25 m平面的聲壓分布，圖4可以看出系統的響應由非耦合結構模態控制。

圖4 336 Hz時板法向位移

圖6為板（0.2 m，0.2 m）處的位移響應和聲腔（0.25 m，0.25 m，0.375 m）處的聲壓響應。從響應譜可以看出對于3種混合模型低頻段 （1～250Hz）吻合較好。

圖5 聲壓分布/Pa

圖6 板的位移響應和聲腔的聲壓響應

在高頻段 （250～500 Hz），除了混合模型3外，其他2個模型與參考值有較大偏離。這主要是因為混合模型中FE部分的數值誤差。

從圖6還可以得出：耦合模型的計算精度基本上取決于FE模型的精度，也與FE頻率響應函數特性相似，都是向高頻偏移。所以利用FE隨網格細分而精度提高的特點進一步細分網格，那么一定能得到精度非常滿意的計算結果。而傳統的模態疊加法一般適合低頻的分析，隨著頻率的增加越來越多的模態對系統的整個響應都有貢獻，此時模態疊加法變得不適合。文中方法將聲腔的聲壓用滿足赫姆霍茲控制方程的波函數展開，用于分析聲腔部分的自由度大大減少，最后耦合模型的總自由度數仍少于耦合有限元和邊界元法，這有利于計算更高頻率或者更高精度的耦合問題，從圖7可以發現這點。

6 結束語

本文討論了分析三維結構聲系統動力學響應的混合方法。WBM具有計算模型小，收斂速度快，計算量比FEM少等特點，與FEM相比該方法提供了處理更高頻率響應的能力。但是為了利用WBM的計算效率，分析模型只能是中度復雜的幾何模型。一個充分非必要條件是求解域必須是凸形域。對于非凸形域需要將其分解成多個子域，在界面施加連續性條件。對于實際的問題，WBM可能需要大量的子域。為了處理更加復雜的幾何模型，提出了混合FEM－WBM?；旌戏ɡ昧薟BM的高計算效率以及FEM的幾何適應能力。

圖7 336 Hz時收斂曲線

兩種方法的近似場通過加權余量公式來直接耦合。混合法的性能通過一個簡單的耦合模型來驗證。由結果分析也說明了混合法的特點。由于混合法中存在FE部分，所以混合法也存在數值誤差。利用FEM的細分，可以得到更高精度的結果。該方法可以為有源結構聲控制提供一定的理論基礎。

將來的工作將對WBM的耦合方程的高效、穩定算法方面進行深入研究。研究耦合WBM和BEM的可能性，以及探索流固耦合界面上存在阻尼材料的情況。

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A Hybrid Method for Interior Structural－acoustic Analysis

Peng Wei－caiZhao Gao－yu He Zeng
Department of Mechanics，Huazhong University of Science＆Technology，Wuhan 430074，China

The finite element method（FEM）is a widely accepted prediction tool for the steady－state dynamic response analysis of coupled structural－acoustic（SA）systems.However，it is limited to the low frequency range due to the fast growing model size for increasing frequencies.An alternative method is the wave based method（WBM）based on the indirect Trefftz method.However，the applicability of the WBM is limited since the high computational efficiency only appears for moderate geometrical complexity.In order to take advantage of the wide application range of the FEM and the high convergence rate of the WBM，a hybrid method of the two is proposed.The basic idea is to replace parts of the FE model with simple geometrical shapes by much smaller wave models.The resulting hybrid model has fewer degrees of freedom.The theoretical background of both the FEM and the WBM is briefly discussed，followed by the mathematical description of the hybrid FE－WB method.The hybrid modeling concept is demonstrated for a structural－acoustic system.The results are shown to be in good agreement with numerical simulation results.The example illustrates that the hybrid FE－WB method has the potential to cover the mid－frequency range.

structural-acoustic analysis；direct coupling；hybrid method；WBM；FEM

O42

A

1673－3185（2009）05－14－06

2009－06－05

國家自然科學基金資助項目（10872075）

彭偉才（1981－），男，博士研究生。研究方向：結構振動與噪聲控制。E-mail：pweicai＠gmail.com