“中位數(shù)和眾數(shù)”教學(xué)片段與反思

李金玲

“中位數(shù)和眾數(shù)”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)5年級(jí)第10冊(cè)教學(xué)內(nèi)容。

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是3種反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。數(shù)據(jù)的“平均水平”是常用的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)一些極端數(shù)據(jù)時(shí)（個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小），平均數(shù)會(huì)受其影響，不能完全反映出一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；中位數(shù)或眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響。

這節(jié)課是概念教學(xué)，沒有大量的計(jì)算，因此充分利用多媒體教學(xué)平臺(tái)，采用簡(jiǎn)單實(shí)例——應(yīng)聘問題，使學(xué)生理解平均數(shù)不能反映真實(shí)情況，引出中位數(shù)和眾數(shù)概念；并理解眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)較多的數(shù)。中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）排列，中間的數(shù)。數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，最中間的一個(gè)數(shù)就是中位數(shù)，但數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了中位數(shù)和眾數(shù)以后，再以生活實(shí)例為背景，讓學(xué)生通過具體事實(shí)體會(huì)到平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者既各有所長(zhǎng)，也都有不足，一定要根據(jù)需要靈活選擇，從而使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到在實(shí)際生活中一定要多角度全面地考慮問題，分析問題，幫助學(xué)生完善新知的建構(gòu)。

片段一：情境導(dǎo)入，初步感知中位數(shù)和眾數(shù)。

王明畢業(yè)后到一家公司應(yīng)聘。不知道應(yīng)該到哪家公司去好一些。請(qǐng)同學(xué)們幫著參謀。

甲公司：月人均收入是1800元。

乙公司：月人均收入已經(jīng)達(dá)到2000元。

（1）你獲得了哪些信息？

（2）王明同學(xué)會(huì)選哪一家公司？

生：我想到乙公司工作。因?yàn)楣べY2000元，比甲公司高。

（大部分同學(xué)都通過平均數(shù)來比較，傾向于乙公司。）

師：找份工作不容易啊！王明同學(xué)想再具體了解一下公司。

出示兩家公司員工的詳細(xì)工資如下：

（2）現(xiàn)在你認(rèn)為他會(huì)選哪一家公司？學(xué)生討論，說出你的理由。

生：我認(rèn)為選擇甲公司比較好。工資相差的并不多。

師：為什么乙公司普通員工的工資不高，但是平均工資卻比較高？

生：經(jīng)理的工資過高，平均數(shù)就大。但是，2000元不能代表員工的工資，這樣不公平。應(yīng)該把經(jīng)理工資去除再說。

師：看來經(jīng)理和助理的工資對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生了影響。經(jīng)理與普通員工的工資相差過于懸殊。這里的個(gè)別高工資在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，我們將它稱為極端數(shù)據(jù)或異常數(shù)據(jù)，即指一組數(shù)據(jù)中特別大或特別小的數(shù)據(jù)。對(duì)于存在極端數(shù)據(jù)的總體或樣本，用平均數(shù)描述其集中趨勢(shì)就不合適了。

月平均工資2000元不能真實(shí)地反映員工的月工資水平。也就是平均數(shù)不能代表普通員工月工資水平。那么，你認(rèn)為用什么樣的數(shù)表示乙公司工資的一般水平比較合適？和同桌討論一下。請(qǐng)你說一說你的理由。并起一個(gè)合適的名字。

師：哪一個(gè)數(shù)能代表員工的工資水平？

生：1700元。

師：還有不同意見嗎？

生：用中間的數(shù)1680元。

生：用最多人所拿的工資額1600元。

師：1700、1680、1600哪一個(gè)更好選擇一下。

師：“1680”這個(gè)數(shù)不但位置在中間，大小也在中間！給它取一名字叫什么？（板書：中位數(shù)。）“1600”這個(gè)數(shù)在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，我們給他取一名字叫什么？（板書：眾數(shù)。）

片段二：探究中位數(shù)和眾數(shù)概念。

通過上面的情境導(dǎo)入，學(xué)生對(duì)眾數(shù)和中位數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)與理解。這時(shí)，教師先讓學(xué)生分組討論交流闡述觀點(diǎn)，匯報(bào)各自的想法，然后師生提煉概括出中位數(shù)、眾數(shù)概念。弄清概念的具體屬性。

1．你認(rèn)為什么是中位數(shù)？

師：用自己的語言闡述。

生：排在中間的數(shù)是中位數(shù)。

師：如甲公司月工資表中的1500是嗎？

生：不是。

師：誰能用自己的話說說什么是中位數(shù)？

生：把一組數(shù)據(jù)從小到大位于中間的數(shù)叫中位數(shù)。

師：把一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）排列，位于中間的數(shù)叫中位數(shù)。（板書。）你們覺得中位數(shù)像什么？

…………

師：分界線。代表中等水平。

2．怎樣理解眾數(shù)？

生：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫眾數(shù)。

師：齊讀中位數(shù)和眾數(shù)概念。

師：哪些詞是關(guān)鍵詞？

生：排列、中間、出現(xiàn)次數(shù)最多。

3．怎樣求中位數(shù)和眾數(shù)？

師：我們?cè)僖黄饋砜醇坠驹鹿べY表，將10個(gè)數(shù)據(jù)從大到小排列如下：

2300，2000，1900，1800，1800，1750，1700，1650，1600，1500。

師：你認(rèn)為中位數(shù)是哪一個(gè)？

生：1800和1750都是。

師：怎樣解決這個(gè)問題？

生：求1800和1750的平均數(shù)。

師：你們很聰明。真會(huì)解決問題。當(dāng)一組數(shù)為偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

4．中位數(shù)和眾數(shù)的根本區(qū)別點(diǎn)和共同點(diǎn)是什么？

生：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的，強(qiáng)調(diào)的“出現(xiàn)次數(shù)”，中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的一個(gè)數(shù)。（按大小順序排列。）

師：對(duì)于存在異常數(shù)據(jù)且數(shù)據(jù)的分布不均勻時(shí)，用眾數(shù)或中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)比平均數(shù)的代表性強(qiáng)。

5．在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是唯一的嗎？

師出例：求一組數(shù)3、3、5、5平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。

生：平均數(shù)是4，中位數(shù)是4，但眾數(shù)卻是3和5。

生：一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)、中位數(shù)是唯一的，唯有眾數(shù)不唯一。

生：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可能為同一個(gè)數(shù)。例如；8、8、8、8四個(gè)數(shù)。

師小結(jié)：通過實(shí)例驗(yàn)證，我們知道了一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)、中位數(shù)是唯一的，唯有眾數(shù)不唯一。有時(shí)也可能是一個(gè)數(shù)。

反思：

創(chuàng)設(shè)用公司月平均工資表來反映員工月收入水平的生活情境，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中理解眾數(shù)和中位數(shù)產(chǎn)生的必要性，讓知識(shí)的產(chǎn)生聯(lián)系生活實(shí)際的需要。在探究概念部分，拋給了學(xué)生一個(gè)思考題：你認(rèn)為用什么樣的數(shù)表示工資的一般水平比較合適？激起學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心、求知欲以及認(rèn)知矛盾。學(xué)生很自然地投入到探索中。

借助具體情境，由兩個(gè)關(guān)聯(lián)的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受“平均數(shù)受極端數(shù)的影響”。在嘗試解決問題中，讓學(xué)生自己體會(huì)“中位數(shù)、眾數(shù)的意義”。 教師沒有直接給出中位數(shù)和眾數(shù)的概念，而是學(xué)生通過觀察、分析、討論，在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上逐步建構(gòu)。這樣做使學(xué)生逐步體會(huì)到這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但描述的角度并不相同，使學(xué)生比較全面、正確地理解所學(xué)知識(shí)。概念的教學(xué)采用了先交給學(xué)生一個(gè)模糊的概念——再讓學(xué)生主動(dòng)探究——用自己的語言表述——引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確概括——抓關(guān)鍵詞掌握的策略，學(xué)生的自主探究能力得到提高，收到了較好的效果。

由淺入深設(shè)置問題，使學(xué)生思維分層遞進(jìn)，目的是突出重點(diǎn)，分解難點(diǎn)。通過追問層層引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用類比、歸納、猜想等思維方法探究問題，揭示概念的實(shí)質(zhì)，不斷完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（作者單位：哈爾濱市朝陽(yáng)中心小學(xué)）