混沌理論（１９０３年）等４則

科學家們相信，他們可以根據物質世界的形態，用數學的方法清晰地勾勒出世界的過去和未來。19世紀末，這種精確的宇宙觀受到了質疑。巴黎索伯大學的數理教授亨利·龐加萊致力于研究簡化了的太陽系(僅僅包括太陽、地球和月亮)，他試圖解答所謂的“三體問題”。1903年，龐加萊指出，由于受牛頓重力和運動定律的影響，即使如此簡單的動力體系也以非常復雜和不可預測的方式在不停地運轉。在最初條件下的一個小小的變化會導致巨大的差異成為混沌理論的基礎。

1961年，艾德瓦德·洛倫茲偶然發現了計算機大氣層模型中出現異常的混亂狀態。最初的條件中出現的微小變化，使得長期天氣預報變得毫無用處，這種現象被稱作“蝶型效應”。20世紀70年代，比納·曼德爾布羅特將該理論運用到不規則幾何學中。經典物理學中行星的橢圓形軌道被看做是吸引子，但是在混沌系統內吸引子的形狀是不規則的圖形，于是不規則圖形同混沌運動建立起了聯系。

實際上，大多數真實世界表現出混沌的行為。但這并不是說它是任意的，而是說它潛在的模式比我們事先假設的復雜得多。目前不規則和混沌理論已經成為一個更龐大體系的分支，這個體系包括人工智能、細胞自動裝置、遺傳規則系統。計算機模擬使人們對大氣湍流、股市波動等現象有了更為清晰的認識。混沌系統既是確定的又是不可預測的——只有當我們接近它時，我們才真正了解未來。

氣象預報(1920年)

維海姆·弗里曼·卡倫·皮葉克尼斯 雅格布·奧爾·波奈維·皮葉克尼斯

維海姆·弗里曼·卡倫·皮葉克尼斯對天氣非常著迷，他相信有一天可以通過數學模型準確地描述它。他認為把當前的天氣數據輸入模型，就可以預報天氣了。但是，當時的皮葉克尼斯面臨著巨大的挑戰，因為天氣受到不斷變化的溫度、地點等多種因素的影響。

1904年，在綜合了流體動力學和熱動力學的基礎上，他又提出新的理論解決壓力變化問題。他依靠數學模型建立起目前仍在使用的數字天氣預報規則。然而，他的方程式過于復雜，難以手工運算，后來隨著計算技術的進步這一難題才得以解決。

第一次世界大戰結束后，他同兒子雅格布·奧爾·波奈維·皮葉克尼斯一起指出，地球中緯度地區氣旋的形成是由于冷熱氣團相互作用的結果。他們借用戰場上的術語將氣團交界處稱作“冷風”和“暖風”。他們也是最早發現大多數天氣活動源自這一地帶的科學家。該理論被稱作“極面理論”，并且成為現代氣象預報的基礎。

不規則碎片形(1975年)

波努瓦·曼德爾布羅特

1975年，波努瓦·曼德爾布羅特用法語發表了具有重大意義的《自然不規則碎片形幾何學》，集大量各類數學上的疑問于一致的框架中，標志著20多年研究的頂點。他用“不規則碎片形”一詞，描述通過計算機生成的幾何風景的片段性和不規則性。

不規則碎片形的一個重要特點是，它們在可變數值范圍內自我相似——結構的一小部分與整體非常相似。如果我們看一下地圖上的海岸線，就會發現它看起來彎彎曲曲，起伏很大。如果我們反復將其放大，就能更詳細地看清，每一部分放大的圖形都保持“彎曲”的特點，構成基本的海岸線幾何。在不規則碎片形中，自我相似的形成靠的是一套數學法則或“算法”。我們不用這些法則或算法繪圖，而是用其形成數字序列，每一個數字在反饋回算法中產生下一個數字。20世紀的最初10年，法國數學家家斯頓·朱莉婭和皮埃爾·法圖就發現了這種看似隨意的數字序列。直到曼德爾布羅特研制出計算機繪圖程序人們才發現這些序列絕不是隨意的，而是包含詳細的錯綜復雜的數字。

不規則碎片形的另一個特點是碎片維數。英國海岸線的長度取決于測量的準確度，從理論上講，如果我們能夠不斷放大，總長度就會更靠近極限，接近無窮大，而國土的面積仍在規定限度之內。“彎曲”的水平限定了海岸線的“碎片維數”，應該是大于1而小于2。這一新幾何學無處不在。不規則碎片形和自我相似存在于植物的結構、云的構成、股票市場的波動和星系群的分布中。

混沌世界的邊緣(1987年)

普·巴克 唐 超 科特·威森費爾德

如果物理學定律簡單，為什么世界復雜?約翰·霍頓·康威于1977年發明計算機珍品游戲“生命游戲”，布滿網格的正方形依照無聲、機械的規則每時每刻都在變換顏色。而出現的卻是一個不斷變化的令人吃驚的新奇世界。在計算機上操縱這種“網格自動機”游戲，隨著屏幕開始閃爍，便會出現繁榮的生態系統。各種顏色永遠不會停止變換，“動物們”甚至開始游過屏幕，一舉一動好像是活的能呼吸的生命。康威設計的游戲是數學奇跡，說明一個道理——在一個水平面上枯燥無意的規則在另一個水平面上會形成引人入勝、栩栩如生的綜合體。這是一個令人吃驚的寓意深刻的經驗。

在其后20年，物理學家發現從一堆糧食到地殼、地球的生態系統，甚至金融市場等各種體系的運作方式都非常類似康威游戲。這些體系及許多其他體系往往“自我組織”成大家都熟知的“臨界狀態”——一種以不停的波動和極度不穩定為典型特點的自然狀態。任何處于臨界狀態的事情總是在瀕于突然的根本變化時達到平衡，而且幾乎不可能預測其后會發生什么事情。1987年。普·巴克、唐超和科特·威森費爾德首次提出“自我組織的臨界狀態”概念，為我們的世界多數地方復雜喧囂的特點提供了全面解釋。想想突發森林大火會導致大量生物消亡，從而改變生物進化進程甚至人類歷史本身的特點，這可能就像自然法則一樣，未來必定會被完全無法預見的突變不斷地打斷。