從學生的數學錯例中挖掘教育價值

在數學教學活動中，“錯誤”是學生因各種原因出現了違反教學結論或數學方法的現象，可以這樣說，數學課堂上每天都有學生在出錯。

“誰不考慮嘗試錯誤，不許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”(蓋耶)可見，面對學生的錯誤，不能簡單地判定為學生在學習過程中出現次品，而應該充分挖掘其間隱藏著的教育價值，抓住學生犯“錯”的契機，把錯誤變成寶貴的教學資源，促進學生主動、有效的發展。

[策略一]關注錯誤，引導辨析

錯例原委:兩道練習題 ① 25+75×4②25×75×4，目的是通過變式訓練，強化“乘法分配律”的運用能力。

錯誤表現:

甲生:25+75×4=4×(25+75)。

乙生:25×75×4=4×(25+75)。

錯誤比率:約占全班的20%。

更正過程:甲、乙、丙(正確方)之間開展辯論，甲、乙都認為25與75可以湊成100，就可以運用“乘法分配律”，丙認為4×(25+75)=4×25+4×75，經過爭辯，甲、乙兩人心服口服。

甲、乙兩位學生的算法很明顯是錯的，如果只進行簡單的更正，類似的錯誤還會接二連三地出現在學生作業中，因為他們對“錯誤”的歸因會落在自己審題不仔細上，而不是落在對“乘法分配律”意義的理解出現偏差上，只有讓這個錯誤在爭辯中得到更正，才能使他們對錯誤產生的原因有深刻的認識。

當學生出現一些個性化的方法，盡管有可能是錯誤的，但足以證明他對所學內容有了獨立的思考，教師要珍惜這種資源。另外，以學生的真實錯誤作為教學內容，把解決問題的主動權還給學生，引導他們比較、爭辯，讓他們自己明確產生錯誤的原因，自己找到更正的方法，可以從根源上有效避免以后再犯類似的錯誤。

1.相信學生的“錯”總是有道理的。學生的錯誤是基于他們自認為正確的認識與決定，而出現的錯例恰恰是這種認識與決定真實的表現，只有找到他們內心的想法，才能達到治標治本的效果。

2.善待學生的錯。當學生在課堂上出現錯誤或產生問題時，教師要尊重、理解、寬容出錯的學生，不應該采取“馬上訂正”或“立即糾正”的方法，因為學習過程中出現的錯誤是他們與課程內容在交互過程中產生的新的研究對象，本身就具有新的學習價值。

3.把錯例作為新的學習內容。學生的錯誤是基于現有認知水平上發生的，在一定的范圍內是有類似情況存在，唯有把這個錯例作為一個新的學習內容讓學生展開研究，才能讓大多數學生充分關注錯誤產生的原因與更正的方法。

[策略二]將錯就錯，顯露思維

錯例原委:一道判別題——鰲江大廈的高度大約是1千米，目的是檢查學生是否建立1千米的概念。

錯誤表現:生:我認為是對的，鰲江大廈看上去很高、很高。

認可比率:有33%的學生認為是對的，因為的確很高。有近33%的學生將信將疑。

釋疑過程:

師:鰲江大廈看起來很高很高，那就是1千米，對嗎?

生:對。

師:我們的教室大約有多高?

生:3米左右。

師:你是怎樣看出來的?

生:門高2米，門上有1米。

師:那鰲江大廈共有幾層……

生:19層，哦，只有60米左右?

師:有1千米嗎?(全場寂靜后，突發一聲“沒有”)

在我們的想象中，學生對“1千米”的認識應該是很容易的，誰知他們把1千米界定為很長很長(很高很高)，原因在于對1千米的表象建立不牢固和估算策略淡薄，如果在這題上只作簡單的評判，對“1千米”的錯誤認識會一直留在學生腦海中。

學生的錯誤中可能包含著有價值、有爭議的思維方式，它是一種教學資源。另外，錯誤對學生而言是經過嚴密思考后作出的“科學”結論，在他們身上必然存在著支撐這個結論的知識框架，如果只對這個結論進行更正，那么留存在學生頭腦中的知識框架還會產生類似的錯誤，只有先消除產生這個錯誤的途徑，才能達成徹底更正。

1.把“錯”留住，調整教學進程。教學過程是師生之間知識、思考的多向交流與碰撞，學生的信息反饋直接決定著教學進程的發展，學生錯例的出現就是課堂教學流程需要變化的重要指向燈。

2.推遲介入，讓錯誤閃現。為了顯示學生出錯的根源，教師必須推遲介入，使他們有獨立思考、自主探索的時間，有組際之間相互交流的空間，同時教師的推遲介入也能讓錯誤成為學生集中關注的學習內容，使學生自主找到正確答案。

3.將錯就錯，不攻自破。學生提出的錯誤觀點是他們的積極發現，如果教師不假思索地輕易否定，學生的自信會受到打擊。如果讓學生沿著自己假設的方向去探索，直至推翻自己最初的結論，這時學生對認知的自主建構是積極主動的，也是最有效的。

[策略三]誘發錯誤，自我反思

錯例原委:為了引出“數格子比大小的前提是所分的格子必須是同樣大”這個重點，從而發現計算面積時要有面積單位，課中故意設了一個“陷阱”。

錯誤比率:全班幾乎都“上當”了。

糾錯過程:

師:來做一個游戲，男同學數格子時，女同學閉上眼睛，第二次換一下。(分別有8格和4格)

師:誰看到的圖形面積大?

(生一致認為8格比4格大)

師:為什么?

生:8格比4格多。

師:是這樣嗎?我把兩個圖形拿出來讓你們看一下。

生:原來是一樣大。

師:怎么會一樣大?

生:這兩種格子大小不一樣，同樣大小的格子才能比較……

“統一格子的大小”是面積單位出現的雛形，課中教師引領學生不知不覺地走進了“陷阱”，而當他們認識到“上當”并從錯誤中猛醒過來時，會產生自我反思的聯動反應，留下深刻的印象。

數學課堂除了讓學生獲得必備的知識技能外，還要培養學生理性的精神與克服困難的自信心、意志力，教師要有意識地設計一些障礙，并及時指導學生尋求跨越障礙的方法，反思取得成功的經驗，形成克服困難的意志力。同時有意讓學生經歷錯誤，還能突出數學課程的挑戰性，激勵學生開展探究活動。

1.讓錯誤有悖于常識。學生對問題的解釋、判斷是建立在自己原有知識背景基礎上的，如果精心設置的“陷阱”有悖于學生原有的常識，發生的錯誤面就會相當廣，學生自我審視認知結構合理性的愿望也是非常強烈的。

2.讓錯誤激發頓悟。對錯誤的自我否定到新認識的重新建立是一個頓悟過程。如果教師設定的錯誤是學生印象非常深刻或者具有挑戰性，那么渴望解決問題的內驅力就會顯著增強，激發學生頓悟的幾率就會增大。

3.修正中出新知。教師在課堂中精心設置“陷阱”是為了讓學生經歷出入“陷阱”的過程，感受到眼前的錯誤是認識上必須改變的問題，只有讓學生在“陷阱”中“掙扎”過，錯誤的提醒才是深刻的，對新知識的感受才是強烈的。

[策略四]有意留錯，完善認知

錯誤原委:直徑、半徑之間用關系式歸納為直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的一半。

錯誤比率:只有15%的學生不認同上述歸納是正確的。

發現錯誤過程:

師:剛才不是看到一條直徑中可以分出兩條半徑嗎?

生:對啊。

師:直徑就是半徑的2倍。

生:它們要在同一個圓里。

師:(拿出兩個不同的圓)這兩個圓的直徑與半徑是2倍的關系嗎?

生:沒有，它們不在同一個圓里……

師:對啊，只有在同一個圓里，直徑與半徑才有這種關系。

“在同一個圓里”這個概念前提已經存在于學生潛意識之中，如果抽象出來變成一條性質，那必須完整地表述。但部分學生仍有可能把這個前提條件繼續當做潛規則不加闡明，導致這條性質不完整、不科學。類似的錯誤在學生中時有發生，只在每次學生犯錯時加以提醒，對學生自我反思能力的發展將是無益的。

學生的錯誤有時是可遇不可求的，如果能創造一些“美麗的錯誤”，引導學生憑借已掌握的數學知識找錯、知錯和改錯，逐步形成主動審視、評價數學課堂中每一成員見解的習慣，那么對學生的發展將會十分有益。

1.在熟視無覺處設錯。任何一個數學概念、性質都有它嚴格的內涵，而師生在平常的交流中難免會受到語言表述習慣的影響，一些關鍵性的屬性會在日常語言表述中丟失，如果教師不刻意去強調，就很難保證學生能完全牢固地掌握它，教師必須在這些不經意處常設警示，加以提醒。

2.在思維轉彎處設錯。學生出現錯誤一定程度上是思維活動不順暢或受阻的結果，思維的流暢程度直接影響著解決問題的正確率，如果教師多在一些思維活動的轉彎處設置警示，將提醒學生有效地走向成功。

3.在認知系統缺失處設錯。學生出錯也有認知系統上的原因，完備的認知系統能使學生從多角度去思考、解決問題，如果能正視認知系統缺失對學習成效的影響，并及時有針對性地設置警示，學生在糾錯訓練中認知系統就能得到進一步完善。

錯中有序，錯中存真。學生的錯誤雖有不可預見性，但卻是學生思維的真實反映，其間蘊涵著寶貴的“亮點”。教師應以真誠的態度去傾聽，獨具慧眼并及時捕捉稍縱即逝的錯誤并巧妙運用于教學活動中，讓其發揮出應有的價值，折射出燦爛的光芒。

(浙江省平陽縣鰲江實驗小學325401)