勾股定理及其逆定理的另證

2009-04-29 00:00:00鄭其林

數學教學通訊·高中版 2009年1期

四川南充高坪第三中學 637100

摘要：勾股定理及其逆定理的證法很多. 筆者運用平面幾何中著名的托勒密定理，構造出托勒密定理滿足的基本條件，再借助初中幾何的圓及四邊形等綜合知識，對兩個定理加以證明. 利用構造的方法，對培養學生的創新思維具有拋磚引玉的功效.

關鍵詞：勾股定理；逆定理；另證；方法

勾股定理的證明方法多達四百余種，而它的逆定理的證法卻沒有那么多，筆者曾用同一法證過其逆定理. 大多數方法都是運用中學數學中常規的數學思想方法加以證明的. 筆者結合多年的教學實踐研究，運用高中數學競賽綱要中所要求的一個重要的著名定理——托勒密定理，對勾股定理及其逆定理加以了證明，讓人耳目一新，既拓寬了學生的視野，啟迪了學生的思維，又引導了學生如何去拓展書本中的知識，豐富了學生的課外生活，激發了學生課外探究數學的熱情，增強了解決數學問題的能力. 下面，筆者將托勒密定理的證明及如何運用它來證明勾股定理及其逆定理提供給同行們.

[#8681;]托勒密定理：圓的內接四邊形中，四邊形的兩組對邊的乘積之和等于對角線的積

已知：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O.

[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]

圖1

求證：AB·CD+BC·AD=AC·BD.

證明作∠BAG=∠CAD. 因為=，所以∠3=∠4. 因為∠BAG=∠CAD，所以△ABG∽△ACD. 所以=.

所以AB·CD=AC·BG.①

因為∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因為=，所以∠ADG=∠ACB. 所以△ADG∽△ACB. 所以=.

所以BC·AD=AC·DG. ②

①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BG+DG）=AC·BD.

[#8681;]運用托勒密定理證明勾股定理及其逆定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.