妙不可言的撕不裂數

同學們，認識了“對稱數““倍回文數”以及“鏡反數”等一系列數后，是不是發覺數的世界真的很有趣、很奇妙呢!在這里，數字不再只是一堆枯燥的數字，而是一個個可愛的小精靈，吸引著我們去探究，破譯它們的奧秘。

今天，我們請來了一位神秘的嘉賓——掑不裂數。

撕不裂數是怎樣的一種數呢?首先我們來看一個四位數9801，9801不僅是一個“倍對稱數”，它還有哪些更有趣的特性?細心的同學會發現，如果我們把9801截成兩段“98”與“01”，相加之后的和再自乘，得到的仍是9801，即(98+01)²=9801。怎么樣，是不是很有意思?我們把9801就叫做撕不裂數。

撕不裂數是一種奇怪的數，如果把它從中間分成兩個數，再將它們加起來，然后將它們的和自乘，結果得到的仍然是原來的數，這種數就叫做撕不裂數，也叫喀氏數。(它是印度數學家喀普利卡最先發現的，所以人們把這種怪數命名為“喀普利卡數”，簡稱“喀氏數”，也稱為“分和累乘再現數”。)

撕不裂數不僅存在于四位數中，其它位數的數也有。美國數學家亨特就發現了一個八位數的撕不裂數：60481729，(6048+1729)²=60481729。瞧，把它攔腰切斷，再揉合一起，最后只要翻個身(自乘)，便又完好無損地站到我們面前了。這簡直如“分尸再續”的魔術一般，令人驚奇、贊嘆!

像這樣撕不裂的自然數并不多，具有類似性質的四位數，還有沒有了呢?我們可以采用下面的方法尋找：

設四位數的前兩位(千位數與百位數)為x，后兩位(十位數與個位數)為y，于是這個四位數就是：100x+y，按照題意，就是要使等式成立：(x+y)²=100x+y，y只能夠是0，1或25。我們把這些結果代入上式：

當y=0時，x=0或100，這組解不符合所設的條件；

當y=1時，x=0或98(0不合題意，舍去)；

當y=25時，x=20或30。

因此，具有這種有趣性質的四位數，除了9801以外，還有3025和2025兩個，即(20+25)²=2025，(30+25)²=3025。

那么，兩位數中、六位數中有沒有撕不裂的數呢?我們可以模仿上面的方法尋找得到：兩位數中只有一個撕不裂數：81，(8+1)²=81；六位數中有兩個：494209和998001，(494+209)²=494209，(998+001)²=998001。

通過上面的例子我們發現，兩位數中的撕不裂數有81，四位數中的撕不裂數有9801，六位數中的撕不裂數有998001，根據這些數形式上的結構特征，試猜想八位數99980001是撕不裂數嗎?十位數中有撕不裂數嗎?同學們，你能發現這里有什么規律嗎?

我們可以發現撕不裂數都是偶位數，從中間分成兩個數后，其中一個個位數是8的數前面都是9，另一個個位數是1的數前面都是0，當然81除外。

一般地，2n(n>1)位數中都有一個撕不裂數，它們從前往后分別由(n-1)個9，一個8，(n-1)個0，一個1組成，即99……99800，……001的形式。

上面我們只討論了偶位數中的撕不裂數，人們還發現，除三位數中沒有撕不裂數外，其他奇位數中同樣有撕不裂數，只是奇數位先在數首補0，湊成偶數位后再從中間截開。如：

五位數中的88209，(88+209)²=88209；

七位數中的7441984，(744+1984)²=7441984；

九位數中的493817284，(4938+17284)²=493817284；

十一位數中的20408122449，(20408+122449)²=20408122449；……

想一想：

你能寫出一個2010位數的撕不裂數嗎?

(參考答案)

它是從前往后分別有：1004個9，一個8，1004個0，一個1組成。即99……99800……001形式。