直覺數(shù)學題中的理性思維

摘要數(shù)學直覺實驗題的解決，不能只注重形式、不及本質(zhì)、注重直觀。本文從數(shù)數(shù)、折剪、剪拼三個方面闡述了直覺與理性思維的聯(lián)系。數(shù)學實驗題的真正解決需要大量的數(shù)學知識和嚴密的邏輯思維。

關(guān)鍵詞數(shù)學實驗題 數(shù)數(shù) 折剪 剪拼

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

《數(shù)學課程標準》中提出:“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習的重要方式。”新課程標準中的要求與以往不同的是:強調(diào)了學生的動手實踐能力，應運而生了許多直覺實驗題，這些題降低了對論證的要求。教師在進行這部分內(nèi)容的教學中存在著注重形式、不及本質(zhì)、注重直觀、淡化理性的傾向，經(jīng)常停留在就題論題的層面，缺少為什么會想到這樣的結(jié)果的解釋。雖然這類題表面是對直覺思維有要求，但不等于說是光靠直覺就能真正解決問題，它還是需要以大量的數(shù)學知識為支撐，通過一定的方法和邏輯思維來解決。直覺思維不是孤立的，它和理性思維是相互促進的。

下面我們不妨從“數(shù)數(shù)”、“折剪”“剪拼”等一些問題中談談直覺數(shù)學題中隱含的深層次的理性思維。

1 數(shù)數(shù)

這類題我們不妨從數(shù)線段開始說起。

例1 下列圖中，一共有幾條線段?

一般情況下，教師讓學生通過觀察、思考、交流，得出圖中共有15條線段的結(jié)論，但教師若只是停留在這個層次上顯然是不夠的。作為教師心中明白，這里面隱含概率中組合的思想，教師雖不能直接給出組合的公式，但必須告訴學生按一定順序去找:從第一個字母開始，逐個向后數(shù)，AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF。通過這樣的推導，體現(xiàn)了的數(shù)學的分類思想，增強了學生的邏輯思維能力。學生真正掌握了這種方法，下面一題數(shù)三角形的題就迎刃而解了。

例2 下圖中共有幾個三角形?

有了上題的基礎(chǔ)，結(jié)合三角形的定義，用上題的方法按分類、按順序就可以不重復不遺漏地數(shù)出來了。

例3 下圖中共有幾個三角形?

這道題看似和第二題一樣，但難度上大得多，從圖像表面上看不出按什么順序去數(shù)。教師通過讓學生觀察、思考、交流，把所有的三角形寫出來。但學生心里是非常不踏實的，有沒有被遺漏的三角形了呢?到底有沒有數(shù)全呢?的確，若不加以深層次分析，學生下次遇到這類題很容易出錯，不是遺漏就是重復。教師往往認為是學生做題不仔細，而本質(zhì)上是學生沒有掌握解題的方法，每次解題是碰“運氣”。為了解決這個問題，我們不妨由上面的兩個問題中得到一定啟發(fā)，按一定順序去數(shù)。只是這道題中的順序不能從圖形表面上來找。那么我們不妨對圖中的每一塊進行編號，有了序號，就有了一定的順序，再一一判斷:

先單獨看一塊:①、②、③、④，顯然①不是三角形，其它3個都是;

再看兩兩組合:(①②)、(①③)、(①④)、(②③)、(②④)、(③④)，其中2組不能形成三角形，4組能形成三角形;

再看三三組合:(①②③)、(①②④)、(①③④)、(②③④)，這里三三組合都不能形成三角形;

最后看四個組合在一起:四個在一起顯然是個大三角形。

這里三三組合中雖然沒有一種能形成三角形，但并非說可以不考慮這種情況，只有這樣，解決其它類似問題時才不至于重復或遺漏。

面對這類“數(shù)數(shù)”問題，不管有多少實例也代替不了理性的深度思考。教師不能一味責怪學生看圖不仔細、不全面。這類題目不僅僅是考查學生仔細的能力，更重要的是考察學生有沒有掌握一定的數(shù)學方法。教師在教學過程中要實施直觀表象與理性思維相結(jié)合的教學策略。

2 折剪

折剪問題在數(shù)學新課程改革后經(jīng)常出現(xiàn)的頻率比以前高了很多。比如在《軸對稱》一節(jié)中有這樣一題:

例4 把一個正方形紙片按下方要求對折，沿虛線剪下，而后展開，所得的圖形大致是______。

從下往上折從左往右折沿虛線剪下

面對這類題，大部分老師讓學生先觀察，再猜想答案，最后動手實驗。利用手中的剪刀和正方形紙片，按照題目中的要求折疊、裁剪、展開，學生基本上能得到正確的答案。若有個別同學出錯，老師還可以正好利用這個反例，讓其他同學思考這個學生為什么錯，最后得到結(jié)論:一定要按要求折疊，“從下往上折”和“從上往下折”展開所得的圖形是完全不同的，并再次提醒學生要看清楚題目要求。最后教師再對這道題進行變式訓練，算是完滿結(jié)束了。反過來想，若教學停留在這個層次，這種折剪要求或許對幼兒園的小朋友來說都是能完成的。這道題的最終目的是培養(yǎng)學生的逆向思維和空間想象能力，當然這里的逆向思維是利用軸對稱知識的。教師讓學生動手實驗，絕對不是最終目的。動手的這個過程是為動腦提供最直接、最可靠的依據(jù)。在動手動腦的過程中，領(lǐng)悟解決這道題的思想方法，增加學生的空間想象能力。

例4通過動手實驗后，進一步思考，每一次對折就是產(chǎn)生一條對稱軸，我們逆向畫出對稱軸，畫出軸對稱圖形，得到完整的圖形。

這樣一方面鍛煉了學生畫軸對稱圖形的能力，同時也鍛煉了學生的空間想象能力。折剪后，到底哪一塊是不變的?展開時的順序又是怎樣?與原來折時的順序有什么聯(lián)系?有了這些深層次的思考，學生對再復雜折紙問題就會有一定的思考方法。

類似的折剪問題在新教材中經(jīng)常出現(xiàn)，教師絕對不能停留在淺層次上，做表面文章。只有通過一定的深度思考，引導學生挖掘真正的數(shù)學知識、數(shù)學方法，才能讓學生經(jīng)歷從具體到表象再到抽象這個過程。

3 剪拼

例5 某加工車間現(xiàn)有一塊梯形鋼板廢料，為了響應廠里提出的節(jié)省開支的計劃，打算把它切割后焊接成一個三角形，使面積保持不變，請你設(shè)計一個設(shè)計方案。

這種問題表面只是要求學生剪剪拼拼。學生通過多次動手實驗后能完成這個任務。問其怎么會做出來的，似乎直覺的成分偏多。教師若以得出最后答案為最終目的，此題就沒什么價值。

這類剪拼題，教師要有意識的將學生的注意力集中到說理上來。教師引導學生關(guān)注兩個問題:(1)如何想到這種合適的剪拼方法?(2)如何說明自己的剪拼的合理性?

本質(zhì)上，要完成這個貌似簡單的問題，學生首先要考慮到所要拼成的圖形三角形的“模樣”，再思考梯形與三角形之間的聯(lián)系。有些學生好像沒經(jīng)過什么思考就做出來了，其實，他們腦子里已經(jīng)把這些知識融會貫通在一起了。梯形問題轉(zhuǎn)換成三角形來解決是常用的方法，學生前面或許已經(jīng)積累了一些梯形轉(zhuǎn)換成三角形的方法，再結(jié)合經(jīng)過梯形一腰中點做輔助線是解決梯形的常規(guī)輔助線這個知識點，這道題就不難想出來了。教師下一步要引導學生說明自己剪拼的合理性。這道題當然是比較簡單的，利用三角形的全等就能說明。但若看下一題:

例6 如圖，⊿ABC中，AD為BC邊上的中線，⊿ABD與⊿ACD等底同高，從而這兩個三角形的面積相等，現(xiàn)在請你設(shè)計一種方案，把三角形⊿ACD分成若干小塊，而這若干小塊下好能拼成⊿ABD，說明理由。

這題的本質(zhì)也是剪拼。在教學過程中，我發(fā)現(xiàn)一部分學生畫出了分割方案，但說不出理由。這足以說明他們的分割方案是憑直覺的，為什么這樣分，他心里也不清楚，所以教師對說理這個環(huán)節(jié)要重視。此題，本質(zhì)上也是證三角形的全等，只是兩組三角形的方向不同，學生想不到而已。

剪拼這類問題，教師始終要抓住三個環(huán)節(jié)開展活動:(1)怎樣“剪”?(2)為什么想到這樣剪?(3)為什么合理?而若教師注重了后面兩個環(huán)節(jié)，能引領(lǐng)學生的理解趨向深層次化，讓學生深刻領(lǐng)悟到數(shù)學基礎(chǔ)知識在解決解決這類問題時起的“支撐”作用，最終達成深化學生對基礎(chǔ)知識的掌握，提高學生對基礎(chǔ)知識的運用能力。

4 小結(jié)

“直覺思維是指不經(jīng)過一步步地分析，而迅速地對問題答案作出合理猜測、突然領(lǐng)悟、理解的思維。直覺思維是一種特殊的創(chuàng)造思維。直覺思維不同于一般思維活動之處，在于它濃縮了對思維對象(已知、結(jié)論、關(guān)系)的信息加工處理過程，簡縮了數(shù)學推理演算過程，其中包括的理性思維是跳躍性的甚至是模糊的，它既依賴于過去的經(jīng)驗和理性認識，又參與了很大的創(chuàng)造想象活動。”這段對直覺思維的解釋，讓我們更清楚地認識到:直覺實驗題，表面上是學生利用直覺思維解決問題，實際上需要大量的數(shù)學基礎(chǔ)知識為其支撐。教師在引導學生解決這類直覺實驗題時，絕不能僅僅依靠所謂的“靈感”，更要注重以前的知識、經(jīng)驗和理性思維的運用。

參考文獻

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