一類復雜多屬性決策的新方法

摘要:針對決策矩陣具有不確定區間數信息的多屬性決策問題，該文提出了一個新方法。首先，分別將確定性屬性值與區間數屬性值規范化;然后，針對已規范化的區間數屬性值，通過計算各屬性值與正理想屬性值的灰色關聯度距離，進而把復雜區間數決策矩陣轉化為確定型的決策矩陣;其次，基于得到的確定型的決策矩陣求解屬性的權重;最后，根據加權平均法求出個方案的綜合評價值，進而對方案排序。最后，例舉了一個案例來說明提出的方法。

關鍵詞:復雜多屬性決策;區間數;權重;排序

中圖分類號:TP311文獻標識碼:A文章編號:1009-3044(2009)33-9628-03

New Approach to a Type of Complex Multiple Attribute Decision Making

HU Shu-han1， WANG Tie-qun2， YOU Ying3， WANG Jing-wei3

(1.School of Science， Dalian Fisheries University， Dalian 116023， China; 2.Department of Finance， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China; 3.School of Fundamental Education， ShenYang University of Technology， Shenyang 110870， China)

Abstract: This paper proposes a new approach to the complex multiple attribute decision making problems with the decision matrix in the form of intervals. In the approach， the attributes are classified into two categories: the definite and the interval. The attribute values are normalized firstly; Then， with respect to the interval attributes， by calculating the grey relation coefficients between the interval attribute values and the positive ideal one， the normalized interval attribute values are further transformed into single-point ones; In addition， the attribute weights are determined based on the single-point decision matrix obtained; By calculating the overall values of the alternatives， they can be ranked descendingly. An example is used to illustrate the proposed approach in the end.

Key words: complex multiple attribute decision making; interval number; weights; sort

多屬性決策是指對由多個通常相互矛盾的屬性所刻畫決策方案作出排序或選擇(Hwang and Yoon， 1981)。多屬性決策具有廣泛的理論與實際應用背景(Hwang and Yoon，1981)。由于自身的復雜性，多屬性決策問題的求解分析需要建立相應的數學模型。一個多屬性決策問題可以通過主觀兩兩對比較(Saaty，1980)或決策矩陣來建模 (Hwang and Yoon，1981)。

Saaty(1980)提出了層次分析法(AHP)來解決多屬性決策問題，即通過建立決策方案間的兩兩對比較來計算方案的排序評價值進而得到方案的排序。在模糊決策環境下，語言表達或區間判斷常常被決策者采用來描述方案間的主觀不確定兩兩對比較(Haines， 1998)。在處理決策者的區間數主觀不確定判斷時，研究人員們提出了兩類方法。第一類方法是基于仿真或區間數上的分布假設(Haines， 1998)。例如， 采用統計方法來研究決策方案的排序權重值空間上的統計分布(Haines， 1998)。在計算方差和相關性的同時，通過計算決策方案的排序權重值的均值來排序各決策方案。第二類方法是基于數學規劃而進行的(Arbel， 1989)。

該文致力于具有決策矩陣的多屬性決策問題的研究。問題的復雜性在于決策矩陣中各方案關于諸屬性的屬性值可以是確定型的單點值，也可以是以區間數的形式表示的不確定數值。由于估計的不準確性和誤差，決策者可利用的決策信息通常是不確定的 (Yoon， 1989)。有界區間測量

(即區間數)是處理多屬性決策問題中不完全或不精確信息的一個最常用的方法之一(Yoon， 1989; Bryson and Mobolurin， 1996)。而對于決策矩陣具有不確定區間數和確定型的單點值屬性值的復雜多屬性決策問題的研究并不多見。

該文的研究內容安排如下:第二節是問題的描述;第三節給出了提出的方法;第四節舉例說明提出的方法;最后是該文的結論。

1 問題描述

該文著重研究決策矩陣具有不確定區間數信息的多屬性決策問題。下面的假設與符號表達用來描述該類問題:

決策方案是已知的:即S={S1，S2，…Sm}表示m(≥2)個客戶的集合。

屬性是已知的:即C={C1，S2，…Cn}表示n(≥2)個屬性的集合。該文中，假設各屬性是加性獨立的。對于確定型的屬性，方案的屬性值為確定型的數據;對于不確定型的屬性，由于決策環境的模糊性或不確定性，方案的屬性值是以區間數形式表示的。

決策矩陣是已知的:即表示決策矩陣，其中，對于確定型的屬性，aij表示方案的確定型的評價數值;對于不確定型的屬性，(≥0)表示方案Si關于屬性Ci的以區間數表示的評價屬性值，i=1，…m，j=1，…，n。

2 提出的方法

定義1.假設R為實數域。一個有界閉區間[xL，xU]被稱為區間數，記為，其中xL，xU∈R，而且xL

2.1 規范化決策矩陣

由于不同屬性的量綱不同，決策矩陣=[ij]m×n需要規范化。該文中，決策矩陣包含確定型的屬性值數據和以區間數形式表示的屬性值數據。下面分別將確定型的屬性值和區間數屬性值規范化。

2.1.1 確定型屬性值的規范化

決策距陣的規范化方法很多，下面給出比重變換法 (Yoon，1989):

，i=1，…，m，j=1，…，n，如果Ci是效益型屬性，(1)

，i=1，…，m，j=1，…，n，如果Cj是成本型屬性。(2)

可見，經比重變換法各確定型屬性值轉化為[0，1]之內的數據。

3.1.2區間數屬性值的規范化

對于方案Si關于屬性Cj以區間數的形式給出的評價值，即，ij=[aLij，aUij]，i=1，…，m，j=1，…，n，本文采用下面的方法將它們規范化=[qLij，qUij]:

，如果Cj是效益型屬性(3a)

，如果Cj是成本型屬性(3b)

定義2.對于給定的兩區間數，ij和kj， 它們之間的距離定義為:

(4)

顯然，d(ij，kj)≥0。

定義3.關于屬性Cj，各方案的屬性值ij=[qLij，qUij] (i=1，2，…，m)的正理想屬性值定義為

(5)

其中， (6a)

(6b)

定義4. 關于屬性Cj，各方案的屬性值ij 與其正理想屬性值idealj+的灰色關聯度定義為 (鄧聚龍，1988):

(7)

其中，ρ為參數，通常取值為0.5。這樣一來，屬性Cj的區間數屬性值ij被規范化為bij，i=1，…，m，j=1，…，n。

2.2 確定屬性的權重

基于3.1求得的單點值的決策矩陣B=[bij]m×n，屬性的權重向量可由下面的熵值法(宣家驥，1989)求得:

1) 計算在第j個屬性上的第i個方案的特征比重，即

(8)

2) 計算第j個屬性的熵值

(9)

其中，k>0，e≥0。如果bij對于給定的j全部相等，那么rij=1/n，此時，ej=k ln n。

3) 計算屬性的差異性系數。對于給定的j，bij的差異越小，則ej越大，當bij全部相等時，ej=emax=1，此時對于方案的比較，第j個屬性毫無作用。當bij差異越大時，則ej越小，第j個屬性對于方案的比較作用越大。因此，定義差異系數為gj=1-ej，gj越大，第j個屬性越重要。

4) 確定屬性的權重

(10)

2.3計算方案的綜合評價值

基于簡單加權法(Hwang and Yoon， 1981)，方案Si的綜合評價值由下面的公式求得:

(11)

其中，w*j為模型(14)的最優解，j=1，…，n。 決策方案可以按照O*i的值降序排列，i=1，…，m。

2.4 方案排序

通常，根據式(11)所得的各方案的綜合評價值(按降序)，可將各方案進行排序。

3 應用舉例

本案例是關于3個方案 (即，S1，S2，S3)針對3個屬性(即，C1，C2，C3)的評價問題。3個屬性均為效益型屬性，具體的決策矩陣如下:

。

根據公式 (1)-(3a，b)，區間數決策矩陣規范化為:

。

進一步，根據式(7)，得到的規范化的決策矩陣轉化為單點值的決策矩陣為:

。

基于規范化的區間數決策矩陣和公式(10)，可以獲得屬性的權重向量w=(0.3125， 0.3427， 0.3448)。相應地，計算方案的綜合評價值分別為:O*1=0.4255，O*1=0.6235，O*2=0.5743。因此，方案的排序結果為:S1?酆S3?酆S1。

4 結論

該文研究了決策矩陣具有不確定區間數信息的多屬性決策問題，提出了一個新方法，具體步驟如下:1) 規范化具有區間數決策矩陣。重點是計算各區間數屬性值與正理想屬性值的灰色關聯度，把具有區間數的決策矩陣轉化為單點值的決策矩陣;2) 根據熵值法確定屬性的權重;3) 計算方案的綜合評價值;4) 基于3)的計算結果進行方案的排序. 該文提出的方法具有創新性，并且容易在計算機系統上實現。因此，該方法具有廣闊的應用前景。同時注意到，決策矩陣具有不確定語言等評價信息的復雜多屬性決策問題也是值得關注的，并將進一步得到研究。

參考文獻:

[1] Hwang C L，Yoon K.Multiple Attribute Decision Making:Methods and Applications[M].Berlin:Springer-Verlag，1981.

[2] Saaty T L.The Analytic Hierarchy Process[M].New York:McGraw-Hill，1980.

[3] Haines L M.A statistical approach to the analytic hierarchy process with interval judgements.(I).Distributions on feasible regions[J].European Journal of Operational Research，1998(110):112-125.

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[5] Yoon K P.The propagation of errors in multiple-attribute decision analysis:a practical approach[J].Journal of the Operational Research Society，1989，40(7):681-686.

[6] Bryson N，Mobolurin A.An action learning evaluation procedure for multiple criteria decision making problems[J].European Journal of Operational Research，1996，96(2):379-386.

[7] 鄧聚龍.灰色預測與決策[M].武漢:華中理工大學出版社，1988.

[8] 宣家驥.多目標決策[M].長沙:湖南科學技術出版社，1989.