廣義Beltrami方程組弱解分量函數的弱單調性

摘要通過對廣義Beltrami方程組的特征函數G(x)、H(x)增加適當的條件，得到其弱解分量滿足的A-調和方程，利用Hodge分解，得到其弱解分量函數的弱單調性。

關鍵詞廣義Beltrami方程組 很弱解 弱單調性

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

設為中的有界開子集，映射，。文中使用常用符號，在此不再做詳細介紹。我們知道擬正則映射、Beltrami方程組和A-調和方程之間存在著密切聯系。文獻[2]得到一個關于雙特征Beltrami方程組的解得分量的非齊次橢圓方程;文獻[3]，針對雙特征Beltrami方程組得到一個關于其解的微分矩陣的齊次橢圓方程;文獻[4]，得到了單特征值的Beltrami方程組的弱解分量函數的弱單調性。在本文中，通過給廣義Beltrami方程組的特征函數增加適當條件，得到其弱解分量函數的弱單調性。

對于，考慮如下有兩個特征矩陣的Beltrami方程組:

(1)

設G(x)、H(x)是對稱、正定、行列式為1的n階方陣，H(x)趨于恒等矩陣Id。存在正實值函數，對于任意有:

，(2)

仿照文獻[3]，對滿足條件(2)的廣義Beltrami方程組(1)有。算子，由=給出，于是有:

。

由方程組(1)，，為的第項

記，則由矩陣的散度的定義可知:

(3)令，則有:(4)

則由條件(2)，對任意有:

同時，當時，，有

于是有:(i)單調性:

(ii)控制增長條件:

(iii)齊次性條件:，對所有。

簡記為:， 。(5)

定義1: 稱，max{1，}是方程(4)的很弱解，若對所有的，有:。

注: “弱”指的是其可積指數小于其自然指數。由上面的證明可知，在本文中，。

定義2:實值函數稱為弱單調的，若對每個相對緊子集以及任意常數，使得，成立時，都有。

為研究滿足條件(2)的廣義Beltrami方程組的弱解分量函數的弱單調性，仿照文獻[4]借助函數空間大空。本文的主要結論如下:

定理1: 設，則方程(4)的很弱解在中弱單調。

證明:對任意緊子集，，特別地，由的任意性，取。

設，取Hodge分解:

于是:，。

選取做試驗函數，由弱解的定義可知

由Holder不等式和式(5)可得:

由()可知，右端第一項積分有限，且當時，右端第二項積分趨于零，進而整個右端趨于零，從而。于是方程組(1)的弱解分量在中弱單調。

由前面的推導可知，滿足條件(2)，(3)的廣義Beltrami方程組的每一弱解分量函數都滿足方程(10)，其中，。從而便有:

定理2:設，()，當時，廣義Beltrami方程組(1)的弱解分量在中弱單調。

參考文獻

[1] T.Iwaniec， G.Martin， Geometric function theory and nonlinear analysis， Clarendon Press， Oxford，2001.

[2] Shen Zhou ZHENG， Regularity Results for the Generalized Beltrami System， Acta.Math. Sin. 2004.20(2):293~304.

[3] 高紅亞，趙麗芳.關于Beltrami方程組.數學物理學報，2000.30(4):309~314.

[4] 高紅亞，王紅敏，顧光澤.Beltrami方程組弱解分量函數的弱單調性.數學物理學報， 2009.29(3):651~655.