淺談復變函數積分的計算方法

摘要復變函數中積分是研究解析函數的重要工具。本文對復變函數積分的計算方法進行總結并探討。

關鍵詞復變函數的積分 不定積分 留數定理 積分定理

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

復變函數中的積分不僅是研究解析函數的重要工具，也是它的后繼課程積分變換的基礎，所以就復變函數的積分計算方法進行總結和探討是十分必要的。復變函數中積分分閉曲線和非閉曲線兩類。本文就這兩種積分的計算方法進行總結和探討。

1 函數沿非閉曲線的積分的計算

1.1定義法

定義 設有向曲線以為起點，為終點，沿有定義。順著從到的方向在上去分點:，把曲線分成若干個弧段。在從到的每一個弧段上任取一點，作和式，其中。時，的極限存在并等于，則稱沿(從到)可積，并稱為沿(從到)的積分。記作:

例1求，其中為起點在終點在的逐段光滑曲線.

解 將代入定義中的得:

=

∴

1.2參數方程法

在簡單光滑曲線上連續，欲計算積分的步驟如下:第一步:寫出曲線的參數方程 ，(常遇到的是圓弧或直線段) ;第二步:求出，將代入中;第三步:將積分化為關于的定積分=，并計算該定積分。

例2計算，其中為起點在0終點在的直線段.

解 的參數方程為:

在上，，

1.3利用不定積分與公式

曲線的起點及終點在被積函數的解析性區域內的積分可用此方法。在此方法中高等數學里的換元積分法和分部積分法仍然適用。

例3計算.

解

2 函數沿閉曲線的積分的計算

2.1參數方程法

做題步驟同前的參數方程法，不同的是這兒的曲線一般為圓。

例4計算，，其中積分路徑是一條包含點的正向圓周.

解 的參數方程為:，

2.2積分定理

若在封閉曲線內解析且在上連續，則=0。

例5計算.

解 由積分定理得:

2.3挖奇點法

若函數在正向簡單閉曲線內部除有限個奇點外處處解析，在上解析，則計算可采用挖奇點法，具體步驟如下:在的內部作條簡單正向閉曲線(一般為圓)分別包含奇點，使得互不相交，互不包含，與也不相交，則

例6計算.

解 在內部作兩個圓:

注:1.此題在做題過程中用到積分

==0

定理和例4的結論。

2.4此例題還可對被積函數變形進行計算。

=-

=0

4積分公式

例7計算.

解

=

=

=

注:可以用積分公式計算的積分必須滿足以下條件:(1)積分路徑為簡單閉曲線;(2)被積函數為分式函數，被積函數在積分路徑內部只有一個奇點且該奇點是使分母等于零的點;在積分路徑上沒有被積函數的奇點;(3)被積函數可變形為，其中在積分路徑內部及積分路徑上解析。

2.5高階導數公式

例8計算.

解

=

注:可以用高階導數公式計算的積分必須滿足以下條件:(1)(2)同前，(3)被積函數可變形為，其中在積分路徑內部及積分路徑上解析。

有時計算積分需要將上述幾種計算方法結合起來。

例9 計算.

解 作:，:

∴

設函數在區域內除有限個孤立奇點外處處解析。是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則=.

例10計算.

當被積函數在積分路徑內部只有有個孤立奇點，在積分路徑外只有一個孤立奇點為時，則

=

例11計算.

計算復變函數的積分還有其他方法，如幅角原理、級數、轉化為曲線積分等。本文不再一一討論。

參考文獻

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