牛頓的貓

曾　新

有只貓掉下來、掉下來、掉下來。有只貓掉下來、掉下來、掉下來，原來是只牛頓貓。

說到貓，就有一籮筐的故事。上流社會的淑女喜歡抱著慵懶的睡貓，中古歐洲的女巫則有黑貓做伴。雖然宮崎駿嘗試在漫畫《魔女宅急便》當中，改變?nèi)藗儗δ┲谝路ⅡT著掃帚的印象，但仍有很多人都認為黑貓是不吉祥的象征，以前的人就相信黑貓可以讓僵尸復(fù)活。有趣的是，以前臺灣人稱貌美的女子為黑貓。至于貓的歷史可以追溯到公元前2500多年的古埃及，當時的古埃及人養(yǎng)貓是用來防老鼠，為了崇敬貓保存埃及人的谷糧，他們甚至以貓為神。女神巴司特即為人身貓頭，巴司特在埃及還有愛和月亮的意思，將貓奉為月神，很可能和貓可變化的瞳孔有關(guān)。貓對人類最重要的貢獻應(yīng)該是捕捉老鼠，尤其是在農(nóng)業(yè)時代，人們辛苦耕耘的收獲得靠貓守護。另外，中古歐洲人也利用貓的捕鼠技術(shù)防治黑死病。貓?zhí)焐褪莻€狩獵家，它擁有靈敏的耳朵可以在黑夜中聽到細微的聲響，它輕盈的步伐可以無聲無息地接近獵物，柔軟的身軀可以像彈簧般快速地捕捉獵物，貓可稱為獵殺者中的極品。

薛定諤的貓

貓對物理也有貢獻，在高深的量子物理學(xué)有所謂的薛定諤的貓，這是著名的物理學(xué)家薛定諤在1935年提出的一項想象實驗。將一個鋼制的箱子、電子偵測器和一只貓放在密閉房間內(nèi)，箱子中間有一個活動式隔板，整個實驗是想利用電子啟動毒藥，將貓毒死。首先在箱子內(nèi)放置一顆電子，根據(jù)量子理論的說法，這顆電子可能在箱子的任一位置。如果箱子用一隔板分成兩個區(qū)域，這時電子出現(xiàn)在其中一個區(qū)域的機會為50％，就像投擲銅板得到字的幾率相同。箱子的其中一個區(qū)域是密閉的，另一個區(qū)域會和外面相連。如果電子在這個區(qū)域內(nèi)，就會跑到箱子外頭，這時電子偵測器會偵測到電子，并釋放出毒氣將貓毒死。因此當箱子的隔板放下，毒死貓的機會也是50％，而薛定諤的貓會讓人覺得量子物理是多么的詭異。

量子物理對于日常生活的人是件超詭異的學(xué)問，想象將一顆籃球投向一面高墻，根本不需要經(jīng)過計算，三歲兒童都知道籃球會反彈回來。即便你真的用牛頓運動定律計算籃球撞向墻壁的行為，或者實地操作一次，都是同樣的結(jié)果。但根據(jù)量子物理的計算，籃球是有很小的機會能夠穿墻而過，夠詭異吧!這是因為量子物理是用幾率來描述萬物。自從有了量子物理，我們不再說電子是以類似行星繞行太陽的軌道模式繞行原子核，而是以幾率波的方式分布在原子核四周。物理學(xué)家只能說電子在某些區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大，也就是這種幾率波的描述方式，才讓看似物體的電子也有類似光波的干涉現(xiàn)象。

回頭看看薛定諤的貓，這只可憐的貓被關(guān)在密封的房間內(nèi)，根據(jù)量子物理的哥本哈根解釋，只要我們不打開房間察看，就不會對該系統(tǒng)做出任何的干擾。這時貓的生死只能用幾率來表示，也就是說貓可能是生，也可能是死。唯有打開房間之后才能知道結(jié)果，這和一般的認知有很大的差異。通常我們認為打開房間發(fā)現(xiàn)貓被毒死了，顯然在打開之前，箱子的隔板放下之后，貓就被毒死的。然而哥本哈根的解釋認為這段時間的貓是處在生和死的疊加狀態(tài)下，亦生亦死，非生非死。以薛定諤的話來說：活貓和死貓是以對等的部分混合，這只薛定諤的量子貓真是只麻煩的貓。但古典的牛頓的貓也不是只隨便的貓，牛頓的貓牽涉到古典的角動量守恒定律，甚至還得出動微分幾何和規(guī)范理論。

貓與角動量守恒

古典物理中有四個重要的守恒律，就是說有四種物理量在隔絕系統(tǒng)內(nèi)是不會改變的。這就好比是一個封閉小國的貨幣總數(shù)，如果該小國位于太平洋上的一個小島，不和其他國家有任何貿(mào)易行為，沒有任何的貨幣交換活動，并且也不發(fā)行和銷毀貨幣，該國的貨幣總數(shù)就會守恒。每個人擁有的貨幣可能會增加或減少，但整個國家的貨幣總數(shù)是不變的。古典物理中的質(zhì)量、能量、動量和角動量都是守恒量，后來加上愛因斯坦E=mc²的質(zhì)能關(guān)系式，使得質(zhì)量和能量的總和是守恒量。在沒有外界影響(即沒有外加力矩)下，一個系統(tǒng)的總角動量是守恒不變的。系統(tǒng)內(nèi)的某個部分增加角動量，就一定會有某些部分的角動量會減少。嚴格說起來，角動量是一種向量，這個量除了有大小，還有方向，就像速度一樣。因此守恒除了大小守恒，方向也要守恒，大小和方向必須同時考慮。直升機就是靠角動量守恒才能飛行，直升機是由頂端的大型葉片快速旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生向下氣流，將直升機升起來。只有頂端葉片的直升機是飛不起來的，葉片一旦開始旋轉(zhuǎn)，整架直升機會以反方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度會比較慢。這是因為直升機的轉(zhuǎn)動慣量比葉片大，角動量是轉(zhuǎn)動慣量乘上旋轉(zhuǎn)的角速度，根據(jù)角動量守恒原理，直升機會以較慢的角速度反方向旋轉(zhuǎn)。為了保持直升機穩(wěn)定，尾翼的葉片是不可或缺的，利用尾翼葉片的旋轉(zhuǎn)讓整架直升機固定下來，而改變尾翼葉片的旋轉(zhuǎn)速度也可以控制直升機的前進方向。

角動量守恒并不能算是嶄新的近代物理定律，但是有關(guān)角動量的問題至今仍層出不窮。例如從高空中掉下來的貓。想象兩手各抓住貓的前肢和后肢，這時貓呈現(xiàn)四腳朝天的模樣，然后雙手放開，讓貓自由落下，并不令人意外，貓會在空中轉(zhuǎn)身后四腳落地。也許你會驚訝于貓的靈活動作，但這種轉(zhuǎn)身動作一直到最近幾十年才被科學(xué)家認真研究。貓掉下來的事件有什么令人困擾的地方?如果考慮剛才提到的角動量守恒，你會發(fā)現(xiàn)這只掉下來的貓應(yīng)該會摔個四腳朝天。當一開始貓在空中呈四腳朝天的模樣，如果只是雙手放開，沒有甩動的動作，表示一開始貓沒有角動量，因此當貓落到地面的過程中不應(yīng)該產(chǎn)生角動量。也就是說貓不會轉(zhuǎn)身落地，但真實情形并不是如此!

在貓下落的情形當中，可以想象一條通過貓身體質(zhì)量重心的水平線，貓的四肢向上，必須經(jīng)過一次相對于水平線的旋轉(zhuǎn)才能平安落地，貓是如何做到憑空旋轉(zhuǎn)?早在18世紀末就有人開始研究這個問題，法國科學(xué)家Marey對生物的運動感到有興趣。他在1894年發(fā)展了一套相機系統(tǒng)可以快速地拍攝一連串貓落下的照片。另一位法國科學(xué)家Guyon曾解釋貓如何轉(zhuǎn)身落地。角動量是轉(zhuǎn)動慣量和角速度相乘的結(jié)果。轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量不同，一個物體不管外形如何變化，它的質(zhì)量不會改變。但是轉(zhuǎn)動慣量卻和物體的外形和旋轉(zhuǎn)軸有關(guān)，相對于旋轉(zhuǎn)軸的距離越大，轉(zhuǎn)動慣量越大。例如溜冰選手在冰上做自轉(zhuǎn)的動作，當雙手張開的時候，相對于旋轉(zhuǎn)軸的距離就比收手的情形大。因此雙手張開的轉(zhuǎn)動慣量比較大，根據(jù)角動量守恒原理，溜冰選手在張開雙手和收手的時候有相同的角動量。但張開雙手的轉(zhuǎn)動慣量大，因此旋轉(zhuǎn)的角速度小，收手的時候角速度變大，溜冰選手就轉(zhuǎn)得快。Guyon認為貓落下的時候先收縮前肢，

伸展后肢，改變貓前半身和后半身的轉(zhuǎn)動慣量，然后前半身和后半身以相反的方向旋轉(zhuǎn)。由于收縮前肢使得前半身的轉(zhuǎn)動慣量小于后半身的轉(zhuǎn)動慣量，因此旋轉(zhuǎn)的時候，前半身轉(zhuǎn)動的角度較大。接著貓伸出前肢，收縮后肢來改變前半身和后半身的轉(zhuǎn)動慣量，此時后半身以原先相反的方向旋轉(zhuǎn)較多的角度，前半身則旋轉(zhuǎn)較少的角度，最后四肢在落地前都能朝向地面。

雖然Guyon的解釋符合角動量守恒，但實際觀察并沒有發(fā)現(xiàn)貓依照此方式掉落。在1940年，1950年的一本俄國出版的理論力學(xué)教科書中提出另一種說法，主要是靠貓的尾巴快速旋轉(zhuǎn)，讓貓的身體以反方向旋轉(zhuǎn)落地，就像一架沒有尾翼的直升機。但根據(jù)觀察，貓可以在很短的時間內(nèi)(約1／8秒)旋轉(zhuǎn)180度，并且貓尾巴旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量比貓身體的轉(zhuǎn)動慣量小很多。若要讓貓在1／8秒內(nèi)旋轉(zhuǎn)180度，貓的尾巴得在1／8秒內(nèi)以相反的方向旋轉(zhuǎn)數(shù)十圈。簡直像直升機旋轉(zhuǎn)的葉片一樣快。此外根據(jù)這種說法推論，一些特別修剪過尾巴的貓是會摔得四腳朝天。在1960年，英國生理學(xué)家麥當勞曾用切除尾巴的貓做實驗，他發(fā)現(xiàn)這種貓仍會安全落地。

到了1960年又流行新的解釋方法，新的解釋是來自于兔子的行為。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)兔子也有類似的高級動作，當兔子四腳朝天地落下，會有幾個基本動作。兔子會先彎腰，讓它的身體彎出一個角度，接著兔子會伸展它的后肢，讓前半身和后半身近乎垂直，通過前半身的軸線稱作甲軸，通過后半身的軸線稱作乙軸。甲軸和乙軸的夾角近乎90度。此時兔子的前半身繞著甲軸旋轉(zhuǎn)180度，讓它的前肢朝向地面。根據(jù)角動量守恒原理，兔子的后半身必須以相反方向繞著甲軸旋轉(zhuǎn)，但是兔子的后肢距離甲軸較遠，相對于甲軸的轉(zhuǎn)動慣量很大。因此后半身只要向相反方向旋轉(zhuǎn)很小的角度即可。接著換后半身旋轉(zhuǎn)，此時后半身是繞著乙軸旋轉(zhuǎn)180度。同樣地，兔子的前半身相對于乙軸的轉(zhuǎn)動慣量很大，只會有很小的角度反轉(zhuǎn)，最后兔子的四肢都朝向地面落地。實際情形并不會如此繁瑣，兔子同時進行前半身和后半身的旋轉(zhuǎn)，這種高級動作的關(guān)鍵是要先彎腰，彎腰造成前半身和后半身相對于兩條軸線有不同的轉(zhuǎn)動慣量，透過適當?shù)恼{(diào)整達到轉(zhuǎn)身的目的。

到了1969年，美國科學(xué)家Kane和Scher在期刊上發(fā)表了新的解釋。他們仔細觀察貓翻身落下的動作，發(fā)現(xiàn)了幾個特點，當中最重要的一點就是沒有發(fā)現(xiàn)前后身軀的相互扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。先前的解釋方法是將貓的身體分成兩部分，如果前半身順時針旋轉(zhuǎn)，后半身就得逆時針旋轉(zhuǎn)。也就是說前半身和后半身之間有相互扭轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，以滿足角動量守恒，就像雙手擰毛巾一樣，只不過貓的前后半身旋轉(zhuǎn)角度不同，而Kane和Scher并沒有發(fā)現(xiàn)前半身和后半身之間有相互扭轉(zhuǎn)的情形。根據(jù)他們的解釋，貓掉下來的時候，身體呈現(xiàn)彎曲，貓的前半身和后半身都以相同的方向繞各自的軸線旋轉(zhuǎn)，單是這種方式旋轉(zhuǎn)會多出一些角動量。此時貓的整個身體必須繞著水平軸線以相反的方向旋轉(zhuǎn)，自然而然地，貓就會四肢朝下。Kane和Scher將整個過程用轉(zhuǎn)動微分方程式描述，并且進行了數(shù)值模擬計算。他們將貓簡化成兩個圓錐體，分別代表貓的前半身和后半身，兩個圓錐體以某個角度排列，之間用了兩個椎面體相接，椎面體之間只有滾動，沒有滑動，以確保兩個圓柱體之間沒有相互扭轉(zhuǎn)的情形發(fā)生。整個模擬過程就如預(yù)期想的一樣。

牛頓的貓的問題并不是想象的那么簡單，雖然只是個古典的角動量守恒問題，并沒有牽涉到狹義和廣義相對論，也沒有絲毫的量子理論，但直到最近30多年才逐漸有了答案。你可曾猜想過，一只掉落的牛頓的貓問題除了和看似簡單的角動量守恒有關(guān)，還牽涉到古典力學(xué)的完全和非完全系統(tǒng)，甚至加上數(shù)學(xué)的微分幾何理論。先前提到Kane和Scher發(fā)現(xiàn)貓的前半身和后半身之間沒有扭腰的動作，前后身軀都是以相同的方向旋轉(zhuǎn)。若以兩個圓錐體來代表貓的前后身軀，兩個圓錐面接觸的地方不會有滑動的情形發(fā)生。這種沒有滑動的現(xiàn)象可以看成圓錐體運動的一種約束條件。

有約束條件的問題并不容易解決，考慮一個沒有體積大小的質(zhì)點在三維空間任意移動，通常可以用位置和速度來描述該點的運動情形。在三維空間中，位置是由三個數(shù)字表示，也就是三個坐標值，而速度也有三個分量，總共有六個數(shù)字來記錄質(zhì)點的運動。在古典力學(xué)中，需要六個獨立的方程式來描述運動狀態(tài)，每個方程式提供一個數(shù)字的變化情形。如果該點用一根棍子拴起來，棍子的另一端固定在空間中的某一固定位置上，這時質(zhì)點的運動就受到約束。它只能在一個圓球殼上移動，圓球殼的半徑為棍子的長度，這時只要6—1=5這個方程式就可以描述該點的運動，因為已經(jīng)有了一個約束的條件存在。在貓的問題中，兩個圓錐體之間的限制在于圓錐面必須黏在一起，但是之間的滑動和滾動又屬于不同的物理問題。Kane和Scher考慮的滾動情形屬于完全系統(tǒng)，而先前的解釋屬于非完全的滑動。雖然Kane和Scher宣稱沒有看到貓有扭腰的動作，貓掉落的問題應(yīng)該屬于完全問題。但直到近幾年，仍有麻省理工學(xué)院的學(xué)生用非完全的方式討論此一問題，甚至動手制作儀器進行實驗。

牛頓的貓的問題也可以從數(shù)學(xué)方面下手，以更廣義的方法研究貓掉落的問題，允許貓以各種姿勢下降。例如將貓的頭朝下，就得用更抽象的手段來看牛頓的貓，或者說用抽象的手段來看一個可變形物體的方位變換問題。另外牛頓的貓還有最佳化的問題，也就是說要用什么樣的翻轉(zhuǎn)方式才是最理想，這部分就和控制理論有關(guān)。早期有關(guān)牛頓的貓的數(shù)學(xué)理論是要將物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的規(guī)范理論連接起來，希望一個物體外形空間在物理學(xué)家的規(guī)范理論中扮演基本空間或時空的角色。牛頓的貓掉落的問題可以將貓的外形想象成在空間中一組點的集合，這個點的集合看起來就像一只貓。貓四腳朝天地掉下來，則看成點集合在空間中向下掉落，當這些點落到地面，整個點集合的外形沒有改變，只有方向改變。這問題有點像是莫比烏斯帶，一根指向上方的箭頭沿著莫比烏斯帶平行地前進，當箭頭繞回來的時候，方向卻指向下方。在空間中代表貓外形的點也有類似的方向改變，只不過在整個變化過程中有一個約束條件，就是角動量必須守恒，數(shù)學(xué)家就是要處理這只牛頓貓的規(guī)范理論。

牛頓的貓的問題可不是個無聊的問題，在實際運用和理論上也不簡單，它出現(xiàn)在許多地方。例如溜滑板運動，滑板選手在非常陡峭的滑板場地做出許多不可思議的轉(zhuǎn)體動作。當滑板選手借助騰空的時候，在空中做出扭腰轉(zhuǎn)體的高級動作，這些動作也都和角動量有關(guān)。另外像是在跳水、體操和花樣滑冰，也都有空中轉(zhuǎn)體的動作。除了地球上的活動外，在太空中也有牛頓的貓的現(xiàn)象，航天員在航天器外回頭拿取身后的工具，這也有角動量的問題。航天器的控制系統(tǒng)也不例外，看來牛頓的貓并不會比薛定諤的貓來得簡單!