數學問題解決系統案例分析及啟示

馬玉慧　周　穎　黃榮懷

【摘要】近年來，學生的“數學問題解決”能力越來越受到重視，我國已將學生的數學問題解決能力作為數學的教學目標之一。在信息技術迅猛發展的今天，如何借助信息技術和人工智能更好地幫助學生提高問題解決能力成為我國研究者亟待解決的一個問題。文章介紹了在美國取得較好反響的兩個問題解決系統——賈斯珀系列和IMMEX系統，并分析了這兩套系統各自的特點，最后為建設更加完善的數學問題解決系統提出了自己的建議。

【關鍵詞】信息技術；問題解決；人工智能

【中圖分類號】G420 【文獻標識碼】A【論文編號】1009—8097（2009）06—0040—04

引言

目前，培養學生的數學問題解決能力已經受到世界各國教育界的重視。美國課程標準（1989年NCTM發表的《中小學數學課程與評估標準》）把“能夠解決數學問題”列為學校數學要達到的五個目標之一；在其分項標準中，“數學用于問題解決”居于首位。日本數學教育界也十分重視“問題解決”，從1994年開始全面實行新數學教學大綱，把“課題教學”列入大綱內容，而所謂“課題教學”就是以“問題解決”為特征的數學課[1]。我國在2000年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》首次將解決問題與數學思考、知識技能、情感與態度作為并列的培養目標[2]。

問題解決能力的培養已經受到世界范圍的重視，如何提高學生的問題解決能力成為了研究者關注的焦點。劉元宗（2004）認為，若要問題解決教學取得良好成效，數學問題的設計是基礎。數學問題是一種情境，這種情境應根植于現實，是有趣的、能引起學生探索欲望的情境[3]。Stone（2006）認為問題的展現形式是非常重要的環節，不同的呈現方式會對學生的情感、態度以及問題解決能力均產生不同的影響[4]。同時，在進行問題解決的教學過程中，適時地指導、及時地反饋會引發學生高水平的思維、促使學生進行深層次的意義建構。對學生問題解決過程中采用了怎樣的策略及問題解決能力的評價更是教師和研究者關注的問題。那么，在培養學生的問題解決能力過程中，如何利用信息技術更好地提高學生的問題解決能力，目前在我國相應的研究還較少。本文介紹了在美國有廣泛影響力的兩個以培養學生問題解決能力為目的的系統：賈斯珀系列和IMMEX系統，并從問題情境的展示形式、系統的指導和系統評價3個方面具體分析了這兩個系統是怎樣利用信息技術支持問題解決能力的培養和評價，

最后為建設更加完善的數學問題解決系統提出了自己的建議。

一 賈斯珀系列和IMMEX系統概述

賈斯珀系列和IMMEX都是利用信息技術培養學生問題解決能力的典范，在美國都引起了較大的反響。賈斯珀系列是由美國溫特貝爾特大學認知與技術小組（CTGV）在20世紀80年代結合自己多年的研究成果，充分利用了計算機和網絡等技術，以培養學生的問題解決能力為目的的教學系統[5]。賈斯珀系列以建構主義學習理論為指導，以拋錨式教學為主要教學設計原則，共創設了12個生動、逼真的歷險故事作為問題的情境。這些歷險故事都是以發現和解決數學問題為核心，同時融入了科學、社會學、歷史等其他的學科，為學生呈現了廣闊的問題探索空間。在富有情趣和挑戰性的情境中，解決問題需要的數據被鑲嵌到故事情境中，學生至少要經過14步才能解決問題，而這些問題往往是一個人很難獨立地完成的，因此又為學生間進行合作提供了機會。賈斯珀系列最初的實驗研究遍及美國9個州的16所學校，實驗研究的結果充分表明了賈斯珀系列的巨大生命力。

IMMEX（Interactive Multi-Media Exercises的縮寫）系統是美國加利福尼亞大學洛杉磯分校的醫學院教授羅納德．史蒂文森博士（Dr.Ronald Stenvens）及其團隊，在美國自然科學基金會（NSF）和其他促進教育創新和改革基金的支持下，經過多年潛心研究開發出來的用于培養、評價學生問題解決能力的在線系統（http://www.immex.ucla.edu）。目前，已有超過500，000名學生使用IMMEX系統，用于提高他們的問題解決能力[6]。目前在該系統中，已經有超過100（包括了各個學科）個用于培養學生問題解決能力的問題集。每個問題集都提供了具有挑戰性的故事情節，并拋出了需要學生解決的問題。學生需要在大量的信息中尋找對解決問題有幫助的信息，并制定解題路徑。在IMMEX系統中每個問題集的解決路徑是多條的，而不同路徑反應了學生不同的解題策略。

賈斯珀系列和IMMEX系統在幫助培養學生的數學問題解決能力方面各有特色，各有側重。下面具體分析了賈斯珀系列和IMMEX系統是如何使用技術在問題的呈現方式、系統的指導、系統的評價三個方面促進提高學生的問題解決能力的。

二 案例的具體分析

1 問題情境的呈現方式

（1） 賈斯珀系列的問題呈現方式

賈斯珀系列為每個問題賦予了豐富的、富有挑戰性的問題情境。問題情境以影片的形式呈現給學生，每個影片約17分鐘，且都是以提出各種各樣的挑戰性問題而結束[7]。解決問題所需要的數據也同樣鑲嵌在故事情境中，學生在解決問題的時候可以按照自己的需要控制影片播放的速度、順序，同時在觀看影片的時候進行相應數據的記錄。

賈斯珀系列歷險故事以影片的形式將問題情境展示給學生。在影片中有真實的生活情境、真實的人物、真實的問題。這種情境的呈現方式具有強烈的現場感、真實感和視覺聽覺的沖擊力，能夠非常好地激發學生的興趣、探索欲望，使學生在好奇心的驅動下解決問題。

（2）IMMEX系統的問題呈現方式

IMMEX系統問題情境的呈現方式設計得非常巧妙，與現實生活中的問題解決過程中信息的獲取途徑基本是同構的。在現實生活中，問題解決過程通常是這樣的：首先是遇到問題，然后分析解決問題所需的信息。在真實情境中會存在大量的信息，而這些信息的獲得是要付出代價的（時間或費用），因此在付出代價之前需要認真考慮是否有必要獲得某些信息，之后再采取行動。這個過程是信息的篩選過程。也許在獲得某些信息后才知道這些信息與解決問題是不相關的，這樣的話就需要重新選擇。

在IMMEX系統中，每個問題都發生在一個真實的情境中，情境中包含的大量信息都以網頁的形式呈現給學生。在首頁中呈現給學生的是整個的情境背景，同時拋出需要解決的問題。這類似于在現實情境中遇到的問題。情境中包含的信息根據在具體情境中的相互關系被組織在不同的主題下（通過網頁鏈接彼此關聯），在網頁中可以看到這些主題信息（在網頁的上部，其下一級主題在網頁的左邊）。這些主題信息類似于現實中的各個方面的信息。點擊需要的主題鏈接后，IMMEX系統并沒有直接將網頁信息呈現出來，而是先彈出一個確認對話框，提示學生如果認為該信息確實具有價值的話請點擊“確定”，但同時會扣除一定的分數，如果點擊“取消”則看不到相應網頁中的信息，也不扣除分數。這與現實生活中的信息獲得都是要付出代價是一致的。如果學生選擇“確定”，則表示學生認為該信息確實與問題解決相關，是值得付出代價的，否則表示學生認為該信息與問題解決不相關。

2 系統的指導

由于問題解決的情境通常都較復雜，包含了大量的信息。在與情境相關的信息中，有些信息是問題解決必需的，而有些信息只是情境信息，與問題解決沒有關系。如果學生不善于發現問題、提出問題時，常常會迷失在撲面而來的大量信息中而找不到解決的路徑。此時系統適當的指導是非常有意義的。否則，學生對完成任務會失去興趣，產生挫折感并喪失信心，這樣對培養學生的能力是非常不利的。

（1） 賈斯珀系列的指導

在賈斯珀系列中，學生與系統的交互除了系統能夠向學生展示信息外，學生還可以在問題解決過程中得到系統的指導。賈斯珀系列的幫助主要體現在“專家示范”。學生可以在問題解決過程中查看專家的做法，以便更好地理解在這樣的情境下應采取什么樣的行動，以促進決策；或者當學生嘗試自己的方法時，示范還可以給出指導和幫助。

（2） IMMEX系統的指導

IMMEX系統提供的幫助是在每個問題集的主題項中都包括了一個“圖書館”。在“圖書館”中系統地為學生提供了解決問題所必需掌握的學科知識，但是不包括任何提示信息。如果學生在解決問題時忘記了某些具體的學科知識，則可以通過“圖書館”進行查詢。例如在解決問題時需要用到“速度=距離 時間”而學生忘記了這個公式，那么他可以在“圖書館”中得到幫助。從圖書館中獲取信息是不扣除分數的。在學生完成問題解決時，如果學生沒有得出正確答案，系統還給學生一些提示信息，啟發學生怎樣順利完成問題解決。

3 系統的評價

問題解決能力的評價不能只依據最后的問題解決結果來進行判定。同樣的結果，不同的學生采用的策略可能存在較大的差異。只有掌握學生問題解決過程中的思維變化，才能有針對性地幫助學生提高問題解決能力。因此對學生在解決問題過程中采用的策略是進行問題解決能力評價的關鍵，也是廣大教師普遍關注的問題。在問題解決能力評價方面，賈斯珀系列和IMMEX系統采用了不同的評價方式。

（1）賈斯珀系列的評價方式

賈斯珀系列十分重視學生問題解決過程中的形成性評價。在賈斯珀系列中，系統與學生的交互除了給學生呈現信息外，還包括對學生輸入的解決方案的模擬，以作為對學生的形成性評價。例如在賈斯珀系列的“成功藍圖”故事情境中，要求學生設計秋千。在這個情境中學生需要考慮秋千架的擺長和秋千的高度的關系。有些學生將秋千架的擺長與高度設計成相等。當學生向系統輸入他們的設計方案時，系統會依據學生的輸入進行建模，為學生展示出他們的設計結果，當學生得到了他們設計的結果后會立即意識到這種方案是行不通的。系統為學生提供的模擬模型如圖1所示[9]。

這種形成性評價對提高學生思維是非常有幫助的，它使得學生有機會及時發現自己的錯誤，并在反思發生錯誤的原因后糾正錯誤，再進行下一步的學習。反饋信息的及時獲得有利于學生解決問題能力水平的提高。

（2） IMMEX系統的評價方式

IMMEX系統的強大功能之一在于對問題解決能力的評價方面[8]。IMMEX獨特的信息呈現方式一方面模擬了現實問題解決過程中信息的獲得形式，另一方面為捕獲問題解決過程中策略的選擇提供了可能。在IMMEX系統中，每個問題集都有多條解題路徑，不同網頁的瀏覽及其順序代表了不同策略的選擇。后臺的服務器會捕獲學生對網頁的點擊情況并利用人工神經網絡對學生的策略進行聚類，并將結果進行了可視化，如圖2所示[10]。在目前的系統中一共將學生的策略聚為36類，教師可通過查看學生所屬的類型詳細地了解學生在解決問題時所采用的策略。

三 案例的啟示

通過以上分析可知，賈斯珀系列和IMMEX系統各有自己獨到之處，它們彼此之間從培養學生的問題解決能力方面又相互補充，為建設更好地問題解決系統提供了有意義的借鑒。

1 在問題情境的呈現方式上，賈斯珀系列采用的是影片的呈現形式。雖然為學生提供了逼真的問題情境、生動的畫面，但畢竟拍攝這樣的影片要付出較大的人力、物力、財力，花費較多的時間，而且系統的修改也非常困難。因此筆者不贊成這種情境信息呈現方式。IMMEX系統巧妙地利用網頁間的鏈接關系模擬了現實情境中信息間的關系，在網頁中依據情境的需要加入了生動有趣的動畫或圖片，也能夠吸引學生的興趣，為學生創造了一個較真實的問題情境。此外，每一個網頁呈現的信息量與將所有信息同時呈現給學生的文字形式比較起來，這種呈現方式降低了學生的認知負荷，有助于學生問題解決能力的提高。因此IMMEX系統的這種信息呈現方式是很值得借鑒的。

2 在系統提供的指導方面，IMMEX系統提供的幫助相對較單薄，只簡單地再現了相關的教科書中的知識和對問題的簡單提示。IMMEX系統強調的是對學生問題解決能力的評價，希望對學生的策略進行區分，因此在過程中并沒有進行干預。但是在學生經過多次努力都失敗后，IMMEX系統也沒有給予幫助，這樣學生會喪失信心甚至放棄，對學生的情感會造成消極影響，不利于學生問題解決能力的提高。賈斯珀系列的專家示范功能是一種有針對性的幫助和指導，能夠使學生在不同情境下獲得不同的幫助。這種幫助具有針對性和及時性的特點，因此對促進學生問題解決能力的提高是很有益的，賈斯珀系列的指導功能為我們提供了很好的經驗。

3 在問題解決能力的評價方面，賈斯珀系列重視形成性評價，對學生的策略給予了及時的評價，而IMMEX系統的評價是在學生完成問題解決之后，是對學生問題解決過程中策略的捕獲及學生策略的分類。筆者認為如果能將兩個系統的評價功能融為一體是非常理想的。

四 總結

本文分析了賈斯珀系列和IMMEX系統是如何利用信息技術在問題情境的呈現方式、系統的指導和系統評價三個方面促進學生數學問題解決能力的，為我國建設更好的數學問題解決系統提供了有益的借鑒。但同時也應該看到，這兩個系統都沒能為學生提供個人指導等方面的欠缺。如何利用信息技術建設更完善問題解決系統還有待進一步的研究。

參考文獻

[1] 張天孝,唐彩斌.美、日、德小學數學教材的共性特征及啟示[J].比較教育研究,2005,1:78-81.

[2] 綦春霞.數學問題解決在中國的研究歷史及其影響[J].課程.教材.教法,2007,27(12):32-35.

[3] 劉元宗.數學問題解決及其教學[J].課程.教材.教法,2004,24(2):54-59.

[4] Stone, J. R.,Alfeld, C.,Pearson,D.,Lewis,M.V.,& Jensen,S.Building academic skills in context: Testing the value of enhanced math learning in CTE[R].Minneapolis: National Research Center for Career and Technical Education,University of Minnesota,2006:77-78.

[5] 王文靜. 賈斯珀系列對我國小學數學教學改革的啟示[J]. 課程.教材.教法,2001,11:67-72.

[6] Ronald H. Stevens,Vandana Thadani.A Bayesian Network Approach for Modeling the Influence of Contextual Variables on Scientific Problem Solving [A].Proceedings of the 8th International Conference on Intelligent Tutoring Systems (ITS 2006)[C].TAIWAN: Lecture Notes in Computer Science,2006,4053:71-84.

[7] 美國溫特貝爾特大學認知與技術小組.美國課程與教學案例透視——賈斯珀系列[M].華東師范大學出版社,2002:1.

[8] Charles T Cox Jr,Joni Jordan, Melanie M Cooper, Ron Stevens. Assessing Student Understanding with technology[J].The Science Teacher,2006,73(4):56-61.

[9] 美國溫特貝爾特大學認知與技術小組.美國課程與教學案例透視——賈斯珀系列[M].華東師范大學出版社,2002: 12.

[10] R Stevens,A Soller,M Cooper,M Sprang.Modeling the Development of Problem Solving Skills in Chemistry with a Web-Based Tutor[A].Proceedings of the 7th International Conference on Intelligent Tutoring Systems (ITS 2004)[C].Berlin Heidelberg,Germany: Lecture Notes in Computer Science,2004,3220:580-591.

Analysing the System for the Problem Solving of Mathematics

MA Yu-huiZHOU YingHUANG Rong-huai

(R&D; Center for Knowledge Engineer, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract: In recent years, the abilities of the mathematical problem solving are taken focus. The ability of the mathematical problem solving has already been instructional object in China. With the rapid developing of the technology, the problem, that how to use the technology to help improving the ability of mathematical problem solving is expected to be solved. This paper describes two mathematical problem solving system which is popular in the United States-The Jasper Project and IMMEX, and analyses the characters of them. Finally provide some suggestions of the system for mathematical problem solving.

Keywords: Information Technology; Problem Solving; Artificial Intelligence