非齊型齊次Morrey-Herz空間中某些次線性算子和交換子的有界性

武江龍

(牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,黑龍江牡丹江 157012)

非齊型齊次Morrey-Herz空間中某些次線性算子和交換子的有界性

武江龍

(牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,黑龍江牡丹江 157012)

在非齊型齊次Morrey-Herz空間(μ)中建立了某些次線性算子的有界性,同時(shí)利用Calder′on-Zygmund算子的L2(μ)有界性,在(μ)上證明了由Calder′on-Zygmund算子和RBMO(μ)函數(shù)生成的交換子的有界性.

交換子;齊次Morrey-Herz空間;非二倍測(cè)度;RBMO(μ);次線性算子

1 引言

在經(jīng)典調(diào)和分析中,一個(gè)關(guān)鍵的假設(shè)是測(cè)度滿足二倍條件.我們稱測(cè)度μ滿足二倍條件,是指如果存在常數(shù)C,使得對(duì)x∈suppμ,r＞0,有μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r)),其中B(x,r)={y∈Rd:|y?x|＜r}.然而,最近幾年的研究表明,定義在歐氏空間Rd上的非負(fù)Radon測(cè)度μ不滿足二倍條件時(shí),許多經(jīng)典的結(jié)果仍然成立[15].對(duì)μ僅有的假設(shè)條件是增長(zhǎng)性條件,即存在常數(shù)C0＞0,使得對(duì)任意的x∈Rd,r＞0,有

其中n為固定的數(shù)且0＜n≤d.如果歐氏空間Rd上賦予的Radon測(cè)度僅滿足增長(zhǎng)性條件(1),則稱它為非齊型空間.眾所周知,二倍條件在齊型空間的分析中起著關(guān)鍵作用,這表明齊型空間上調(diào)和分析理論和非二倍測(cè)度下的結(jié)果是截然不同的[14].

2 次線性算子在非齊型齊次Morrey-Herz空間中的有界性

在敘述主要結(jié)果之前,首先回顧一些基本概念.

對(duì)于k∈Z,令Bk={x∈Rd:|x|≤2k},Ak=BkBk?1和χk=χAk,其中χAk表示集合Ak的特征函數(shù).

其中Q?Rd為各邊平行于坐標(biāo)軸的閉方體,l(Q)表示其邊長(zhǎng).文[11]證明了極大函數(shù)M在Lq(μ)(1＜q＜∞)中有界.并且容易驗(yàn)證M滿足定理2.1中的尺寸條件(i)和(ii).從而有

推論2.2設(shè)α,λ,p和q如定理2.1中所述,則由(4)式定義的極大函數(shù)M在中有界.

注當(dāng)λ=0時(shí),上面的結(jié)果和文[8]中得到的結(jié)果是一致的.

3 交換子在非齊型齊次Morrey-Herz空間中的有界性

本節(jié)主要討論Calder′on-Zygmund算子和RBMO(μ)函數(shù)生成的交換子在齊次Morrey-Herz空間中的有界性.

對(duì)于給定的常數(shù)γ＞1,β＞γn及βd=2inf β,稱某個(gè)方體Q?Rd是一個(gè)(γ,β)倍方體是指Q滿足μ(γQ)≤βμ(Q),其中γQ表示與Q同心,邊長(zhǎng)為γl(Q)的方體.對(duì)于Rd中給定的兩個(gè)方體Q1?Q2,定義

從而由引理3.1得

對(duì)E3,注意到,當(dāng)x∈Ak,j≥k+2以及y∈Aj時(shí),有|x?y|～|y|,因此,對(duì)j≥k+2,運(yùn)用RBMO(μ)函數(shù)的性質(zhì),H¨older不等式,K?Qk,?Qj≤C(j?k?1),(a),增長(zhǎng)性條件(1)及文[4]中的推論3.5,有

注當(dāng)λ=0時(shí),上面的結(jié)果和文[8]中得到的結(jié)果是一致的.

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Boundedness of some sublinear operators and commutators on homogeneous Morrey-Herz spaces with non doubling measures

WU Jiang-long
(Department of Mathematics,Mudanjiang Normal College,Mudanjiang157012,China)

The boundedness of some sublinear operators is established on homogeneous Morrey-Herz spaces with non-doubling measures.At the same time,this paper using the L2(μ)boundedness of Calder′on-Zygmund operators to prove the boundedness of commutators generated by Calder′on-Zygmund operators with RBMO(μ) functions on

commutator,homogeneous Morrey-Herz space,non-doubling measure,RBMO(μ),sublinear operator

O174

A

1008-5513(2009)03-0586-09

2007-06-21.

牡丹江師范學(xué)院科研項(xiàng)目(KZ2008001).

武江龍(1980-),碩士,研究方向：調(diào)和分析.

2000MSC:42B25