論數學模型在經濟領域中的應用

王 繼 鐘 瑜

摘要:數學模型在經濟領域中的應用極為廣泛,本文首先闡述了數學模型在經濟領域中的應用需要解決幾個問題,其次,分析了經濟數學模型的建立步驟和經濟數學模型的作用,同時,就數學模型在經濟領域中的應用的實例進行深入的探討。

關鍵詞:數學模型經濟領域應用

1.前言

目前,數學模型也廣泛應用于經濟領域中,經濟活動中數量關系的簡化的數學表達。簡稱經濟模型。本文就數學模型在經濟領域中的應用進行探討。

2.數學模型在經濟領域中的應用需要解決幾個問題

(1)對實際問題的分析、歸納,做出一些必要且合理的假設條件,將實際問題中的一些指標進行量化;

(2)給出描述問題的數學提法;

(3)利用數學理論和方法或計算機進行分析, 得出結論;

(4)利用現實問題驗證結論的合理性,并作修正。

3. 經濟數學模型的建立

3.1理論和資料的準備

經濟數學模型的質量首先取決于對經濟問題的理論研究狀況。合理的理論假設是模型賴以建立的前提。資料是否充分、可靠和準確,也直接影響經濟數學模型的質量與功能。

3.2建立模型。任何數學形式主要由方程式、變量和參數三個基本要素組成。簡化是用模型來反映現實的特點,這是一種科學的抽象。但簡化是有限度的,這取決于研究對象所允許的誤差范圍和數學方法所需要的前提條件。一個模型抽象或現實到什么程度,取決于分析的需要、分析人員的能力,以及取得資料的可能性。

3.3求解或模擬試驗。以適用的軟件(計算程序)在具有一定功能的電子計算機上可以進行各種模擬試驗,比較和選擇不同的方案。

3.4分析說明和實際應用。在分析和應用模型時,把模型計算所得出的結論與模型外獲得的信息相結合,作出必要的判斷。評價模型優劣的標準應該是吻合度(它同被反映的經濟數量關系的符合程度)與實用度(進行理論分析、經濟預測、政策評價等應用效果)的統一,兩者不可偏廢。隨著客觀經濟情況的變化,模型需要不斷修改和更新。經濟數學模型是系統方法的具體運用,它的著眼點并不在于反映單個的經濟量,而在于說明各個經濟量的關系及其共同作用。一個模型就是一個系統。復雜的國民經濟往往不是少數幾個模型所能反映的,所以需要建立比較完整的模型體系。

4. 經濟數學模型的作用

經濟數學模型在經濟理論研究、經濟系統分析和經濟決策過程中都具有重要的作用。

經濟理論研究需要經濟數學模型。經濟學從它產生的時候起,就在某種程度下運用著數學模型.這是因為經濟事物同其他任何事物一樣,有質量和數量兩個方面。質量研究(或定性研究)是數量研究(或定量研究)的前提和基礎。但是純粹的質量研究往往會成為從概念到概念的抽象推理,妨礙對經濟本質的深入了解。要在經濟理論研究中充分注意量的研究,就必須借助數學模型這個有力工具。

5. 數學模型在經濟領域中的應用的實例

5.1 問題的提出。設市場上有n種資產Si(i=1,2,…,n)可供投資者選擇,某公司有數額為M的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務人員對這n種資產進行了評估,估計出在這一時期內購買資產Si的平均收益率為ri,且預測出購買資產Si的風險損失為qi。考慮到投資越分散,總的風險越小。公司決定在運用這批資金購買若干資產時,總體風險用在資產Si中所投資產的最大風險來度量。購買資產Si的需要支付交易費,其費率為pi,并且當購買額不超過ui時,交易費按購買額ui計算。設同期銀行存款利率是r0=5%,且存取款時既無交易費也無風險。

5.2 對問題的定位。最優化問題需要確定購買資產Si的具體投資額 xi,即建立投資組合,實現兩個目標:(1) 凈收益最大化;(2) 整體風險最小化;

5.3建模準備。用數學符號和公式表述決策變量,構造目標函數和確定約束條件。

(1)決策變量。資產Si ( i =0,1,…,n)的投入量xi ,i =0,1,…,n,其中S0 表示將資產存入銀行。

(2)投資收益。購買資產Si (i=0,1,2,…n)的收益率為 ri,因此投資 xi 的收益率為 rixi ,除去交易費用ci(xi),則投資 xi 的凈收益為Ri=rixi - ci(xi)。從而,總投資的總收益為 R(x)=SRi(xi)。

(3)投資風險。購買資產Si(i=0,1,2,…n)的風險損失為qi ,因此投資xi 的收益率為qi xi,其總體風險用Si的風險,即Qi(xi)= qi xi中最大的一個來度量。

從而總投資的風險損失為Q (x)= max{Qi(xi)}。

5.4單目標優化模型。模型1給定風險水平,求最大化收益。

5.5 簡化交易費用下的模型

(1)交易費用函數為

(2)由于固定費用pi ui 的存在在,使得模型是非線性模型,難于求解模型。

當M 很大而 ui 相對較小時,可略去 pi ui 的作用,即ci(xi)=pixi,則資金約束條件變為:

在實際計算中,常假設M=1,則

表示投資于Si 的資金比例。

6.結語

數學模型在經濟領域中的應用極為廣泛,具有重要的作用,值得探討。

參考文獻:

[1]宏觀經濟數量分析方法與模型, 劉起運 主編,高等教育出版社.

[2]經濟數學模型, 洪毅 等 編著,華南理工大學出版社.

[5]經濟學的結構--數量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著,清華大學出版社.