談談幾種分式方程的特殊解法

梁富紅

解分式方程的思想是將分式方程轉化為整式方程，驗根是解分式方程必不可少的步驟。解分式方程的基本思想是把分式方程轉化為整式方程。解可化為一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法為基礎，只是需把分式方程化成整式方程，所以教學時應注意重新舊知識的聯系與區別，注重滲透轉化的思想，同時要適當復習一元一次方程的解法。解分式方程的方法很多，怎樣選擇合適的方法去解，從而簡化運算呢？下面結合一些例題，向同學們介紹一些解法技巧。

一、一般法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母,使分式方程轉化為整式方程。但要注意,可能會產生增根。所以,必須驗根。產生增根的原因:當最簡公分母等于0時,這種變形不符合方程的同解原理(方程的兩邊都乘以或除以同一個不等于零的數,所得方程與原方程同解),這時得到的整式方程的解不一定是原方程的解。

例1.解方程：.（2006年·臨安市中考題）

分析：在解分式方程的時候，要把分式方程變為整式方程。原方程的兩邊都要乘最簡公分母，在找最簡公分母的時候要先把分式方程變形。

解：去分母得2x-5=3(2x-1)，即 2x-5=6x-3。

解之得

檢驗：當時，最簡公分母2x-1≠0。

所以是原方程的解。

評注：在解這個分式方程時一定要注意，方程等號右邊的常數3也必須乘最簡公分母。

二、換元法

換元法就是恰當地利用換元，將復雜的分式簡單化。為了解決某些難度較大的代數問題,可通過添設輔助元素(或者叫輔助未知數)來解決.輔助元素的添設是使原來的未知量替換成新的未知量,從而把問題化繁為簡,化難為易,使未知量向已知量轉化,這種思維方法就是換元法.換元法是解分式方程的一種常用技巧,利用它可以簡化求解過程。

分析本方程若去分母，則原方程會變成高次方程，很難求出方程的

解 設x2＋x=y，原方程可變形為

解這個方程，得y1=－2，y2=1。當y=－2時，x2＋x=－2。

∵Δ＜0，∴該方程無實根；當y=1時，x2＋x=1，

∴ ；經檢驗，是原方程的根，所以原方程的根是。

三、拆項法

拆項法就是根據分式方程的特點，將組成分式方程的各項或部分項拆項，然后將同分母的項合并使原方程簡化。特別值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根現象。

解將方程兩邊拆項，得

即x=－3是原方程的根。

四、因式分解法

因式分解法就是將分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，從而簡化解題過程。

例4.

解 將各分式的分子、分母分解因式，得

∵x－1≠0，∴兩邊同乘以x－1，得

檢驗知，它們都是原方程的根。所以，原方程的根為x1=－1，x2=0。

五、配方法

配方法就是先把分式方程中的常數項移到方程的左邊，再把左邊配成一個完全平方式，進而可以用直接開平方法求解。

∴x2±6x＋5=0，

解這個方程，得x=±5，或x=±1。

檢驗知，它們都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。

六、運用各自通分法

例7.解方程：。

分析：此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答。觀察此方程可以發現，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法來解。

解：移項，得：方程兩邊通分，得：

即

方程的兩邊同乘(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)

即y2-14y+48=y2-6y=8

解之得y=5

經檢驗,y=5是原方程的解。

∴原方程的解為y=5。

總之，解分式方程要看清分式方程的特點，采用靈活的方式把分式方程轉化為整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘記檢驗。檢驗的方法有兩種：一種是把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗；另一種是把求得的未知數的值代入分式的最簡公分母進行檢驗。