淺談實際問題中的設元

陳應標

摘要：根據問題設出未知數——找出問題中的所有等量關系——用已知量或者設出的未知數去表示各個量——確定相等關系寫出方程；大膽設元。

關鍵詞：實際問題 相等關系 設元 大膽

初中階段，方程與實際問題是數學教學的重點也是難點。實際問題與一元一次方程，實際問題與二元一次方程組，實際問題與一元二次方程，貫穿整個初中數學始終。用方程解決實際問題，其實質是將實際問題轉化為數學中的方程問題來解決，這種轉化關鍵環節就是設未知數、列方程。

列方程是困擾廣大師生的老大難問題，許多同學一看到應用題就頭疼，不知從何下手，面對應用題的復雜多樣，變幻莫測，許多老師也感到束手無策，找不到一種簡單實用的方法。

新課程標準明確指出：數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。現實生活中蘊含著大量的數學信息、數學在現實世界中有著廣泛的應用；面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數學知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應用價值。

利用方程解決實際問題從一個側面體現了數學與現實世界的聯系，體現了數學的建模思想。在新課標下的教材一改以往教材的編寫手法，以模型思想為主線，從實際問題引出方程，以方程解決實際問題——實踐與探索為結尾編寫了方程這塊內容，給人以耳目一新的感覺。它不但讓學生體驗到了方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，深刻認識到方程與現實世界的密切關系，感受數學的價值；同時也給任課教師帶來了挑戰。

所謂的列方程解應用題，就是將實際問題轉化成數學模型，建立方程來解決，方程是含有未知量的等式，由實際問題轉化成方程就需要找出能表示問題含義的一個主要的等式，用字母表示適當的未知數(設元)，其它的未知數則根據數量關系用含元的代數式(數學符號)表示，最后將一個主要的等量關系中的量用數學符號表示，從而將等量關系轉化成方程，實現將實際問題轉化成數學模型的目的。從這里我們可以看出，實現從問題到方程的橋梁是問題中的等量關系及元。尋找等量關系及合理設元成了解決問題的關鍵。

尋找等量關系，在眾多的等量關系中，我們不妨對它們進行分類：①基本的等量關系，它是公式或一些生活常識，例如：路程=時間×速度；總價=單價×數量；雞腳總數=2×雞的數量。②顯性的等量關系，它是問題中明確給出的，相對明顯。③隱性的等量關系，它隱含在題意中，學生必須根據自己的生活經驗判斷，如甲乙兩人從異地相向而行到相遇，這里就隱含著等量關系：甲行走的時間二乙行走的時間。找出問題中所有的等量關系后，選取一個主要的并能體現題意的等量關系列方程。

設元是列方程或方程組解應用題的重要環節。只有設得巧，才能解得妙。那么應怎樣設元呢？

設元方法有間接設元和直接設元兩種，直接設元法就是把要求的量直接用未知數表示,間接設元法就是選取一個與問題有關的量為未知數,通過這個未知數求出題中要求的量。

本人從事初中數學教學近十年，經歷過老教材，在老教材中，給出的例子、模式較單一，許多教師就將它們歸結為幾類問題，分別針對每一類型問題，建立一種固定的解決模式，使用起來較為方便。

然而，新課程改革提倡的是，讓知識來源于生活，服務于生活，為了更貼近生活，在實際問題的取材上，范圍就變得更廣，模式更繁多。再采用一一建立模型的方法就不那么容易了。只能籠統地對它們進行大致的概括，通常采用的步驟是：

認真審題找出相等關系——分析各量之間的關系設出未知數——分別表示出相等關系中的每一個量，得出方程。

這個過程中的重中之重是準確找出相等關系。在一個實際問題中，數量之間的關系有幾個，每個關系都舉足輕重，然而能作為相等關系的往往只有一個，這個關系可能是一句話，也可能就是一個數。它就是這個實際問題的靈魂。初學者最好用文字寫下來，便于分析。準確找出相等關系后，就是設未知數的問題了。想辦法將相等關系中的每一個量都表示出來，有的可以直接寫出來，有的需要用其它量來表示。這時就要權衡，只需設一個（或兩個）未知數就能將相等關系中的所有量表示出來。這是列方程的又一個關鍵。只要將這兩個問題解決了方程基本上就出來了。

然而要解決這兩個問題又談何容易呢？新課程標準雖然對問題的形式要求多樣化，但對解決問題的方法上要求卻降低了。對于初中階段的實際問題絕大多數都能用設直接未知數的方式來解決。設直接未知數即問題問什么就設什么為未知數。既然大多數實際問題都是設直接未知數，在分析問題時，能不能先設出未知數，再來找相等關系呢？

例：用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個，或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒。現有36張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底可以使盒身與盒底剛好配套？

分析：問題中雖然有兩個未知量要求，我們可以設其中任一個為X，若設制作盒身的是X張，則兩個等量關系：

（1）制盒身的鐵皮數＋制盒底的鐵皮數=36

（2）制成的盒身數×2=制成的盒底數

將未知數代入第一個關系可表示出制盒底的鐵皮數為(36-x)張，再由第二個關系可得方程 2×25x=40(36-x)

這種方法采用的是設直接未知數，解題時先設出未知數，這種方法有利于縮小范圍，便于更準確快捷地找到相等關系，對于絕大多數新課程標準下的初中數學實際問題都行之有效。

本例也許并不能很好地體現先設未知數的優點。但是通過多次實踐證明，它能很好地引導學生的分析思路，對于找到相等關系很有幫助，當然它不是萬能的，對于不能設直接未知數解決的問題，在先設直接設未知數無法完成時再考慮設其它量。這種類型的題目始終是少數，因此在教學時，不妨將順序變一變。

即：根據問題設出未知數——找出問題中的所有等量關系——用已知量或者設出的未知數去表示各個量——確定相等關系寫出方程。

新課程標準表面上降低了對學生的要求，刪掉了部分難的與現實生活聯系較少的內容，也增加了平常生活中常用的，統計、概率等方面的知識。淡化概念，簡化計算，注重實際應用與動手操作。然而，要想能靈活運用，沒有過硬的基礎知識、基本技能又何談應用呢？因此新課程標準其實對學生提出了更高的要求。無形中加重了學生的學習負擔，作為教師，則應該盡量將知識濃縮，探究更好的學習方法應對之。對于初中階段困擾師生的方程與實際問題，采用先設直接未知數不失為一種“投機取巧”的好方法。

不少同學在學習了列方程解應用題，受習慣思維影響，對一些復雜數量關系的應用題也只想用一個未知數去列方程，從而無法列出方程解決問題。這時應改變思維習慣，大膽設元，巧妙消元。這就是設而不求的解題策略。

例.一個農場的工人們要把兩片草地的草鋤掉，大的一片草地的面積是小的一片草地面積的兩倍。上午工人們都在大的一片草地上鋤草，午后工人們對半分開，一半留在大片草地上，工作到晚上就把草鋤完了，另一半人到小片草地去鋤草，到晚上還剩下一塊，次日由一個工人鋤草，恰好要一天的時間，問這個農場有幾個工人？

分析：顯然，題目隱含了每個工人的工作效率是一樣的，題目中未告訴工人的工作效率是多少？兩塊草地的面積是多少？怎么辦？我們可以大膽設元；

若設面積小的草地面積為a，每人每天鋤草為b，工人總數為x人。根據題意

有，在這兩個方程中，有三個未知數a、b、x，而我們只關注x，于是我們有如下解法：

解：設面積小的草地面積為a，每人每天鋤草為b，工人總數為x人

則①

②

由①可得：③

由②可得：④

∴x=8

答：這個農場有8個工人。

因此,在初中階段的實際問題與方程中，能準確設出未知數，是解決問題的關鍵，只有熟練掌握了設元的技巧，才能又快又準地設出未知數，從而列出方程解決實際問題。

設元是培養解題策略意識的重要課題,通過設元實現實際問題向數學問題的轉化,構建條件與結論之間聯系的橋梁,有利于優化解題的設計方案。教學中要培養學生從“敢”于設元到“善”于設元,設之有益,設之有用,并引導學生從思想方法的高度去認識變元所處的地位和作用,將會收到良好的效果。

參考文獻

《新課程標準》、《大膽設元 巧妙消元》