生活中的邏輯與數學中的法則

陳士文

一、教材呈現

蘇教版義務教育課程標準數學實驗教科書(四年級上冊)關于混合運算的前三個例題呈現如下。

(1)小軍買3本筆記本和1個書包,一共用去多少錢?

(2)小晴買2盒水彩筆,付了50元,應找回多少元?

通過對兩個問題的解答,得出:算式中有乘法和加法、減法,應先算乘法。

通過對情境中的問題以及“列綜合算式計算1盒水彩筆比1支鋼筆貴多少元”問題的解決,得出:算式中有除法和加、減法,應先算除法。

通過問題的解決,得出:算式里有括號,應先算括號里面的。

二、教學困惑

學生對于例1中“先算3本筆記本的價錢,再把它和書包的價錢合起來”以及例2中“先算1支鋼筆的價錢,再把它和訂書機的價錢合起來”的生活經驗已經具備,自然會先算乘法或除法,這都是生活邏輯的反映。試想,如果教材先呈現例3的內容,當出現50-20÷5的綜合算式時,生活的經驗會使學生得出這樣的結論:“算式中有除法和減法時,先算減法”。這樣的教材編排、這樣的教學設計給學生(甚至是教師)一個印象:是“先乘除,后加減”,還是“先加減,后乘除”?這是由教學素材呈現的順序決定的。

我們曾經對34名小學數學教師進行問卷調查,他們對四則混合運算法則的規定持三種不同的觀點。認為這是生活實踐規律的有7人,認為這是人為約定俗成的有20人,認為這是數學內在原因的有7人。問卷的調查結果反映出教師對四則混合運算順序規定的認識比較模糊。那么我們能否重新編排教材呢?

三、教材設想

第一課時

觀察第一個方框,我們發現:減法是加法的逆運算。

觀察第二個方框,我們發現:除法是乘法的逆運算。

觀察第三個方框,我們發現:乘法是加法的簡便運算。

得出:加、減是低級運算,乘、除是高級運算。

12+12+12+12+9=12×4+9,我們在計算12×4+9時,先算什么?后算什么?

12+12+12+12-9=12×4-9,我們在計算12×4-9時,先算什么?后算什么?

108+23+23+23+23=108+23×4,我們在計算108+23×4時,先算什么?后算什么?

108-23-23-23-23=108-23×4,我們在計算108-23×4時,先算什么?后算什么?

得出:算式中有乘法和加、減法,應先算乘法。

我們已經知道除法是乘法的逆運算,因此,算式中有除法和加、減法,應先算除法。

第二課時

教材中的例1、例2、例3。

第三課時

相關練習(略)。

四、設計意圖

第一課時的教學通過三個方框的觀察思考使學生從整體上理解加、減、乘、除之間的內在聯系,即減法是加法的逆運算,除法是乘法的逆運算,乘法是加法的“提升”和“簡便”。接著通過一組算式的改寫,得出結論:算式中有乘法和加、減法,應先算乘法。又由于前面有了“加、減是低級運算,乘、除是高級運算”的教學,再次引導學生得出:算式中有除法和加、減法,應先算除法。最終自然形成初步完整的法則:先乘除,后加減。

第二課時通過第1例、第2例的教學讓學生感悟到生活中的問題是與數學的法則相吻合的,接著教學第3例,此時學生發現:生活中有些問題是按照“先加減,后乘除”的邏輯順序,因為前面有了“先乘除,后加減”的法則規定,而法則是不能違背生活邏輯的,于是對原先“先乘除,后加減”的法則作出補充規定,即引進“括號”,說明算式中有括號的應先算括號里面的。

第三課時組織相關的練習,鞏固強化法則的運用。

至此,我們可對問卷中關于為什么規定“先乘除,后加減,有括號先算括號里面的”的原因作出如下回答:

因為乘除法是加減法的高級運算,所以要先乘除后加減,由于有些具體的實踐問題需要先加減,則用括號,此時先算括號里面的,括號的作用是對“先乘除,后加減”法則的特別補充。一句話,四則混合運算法則是數學自身內在體系科學運行的必然,又通過括號的介入,使之符合生活的邏輯。