在列方程、解方程和解決問題中學(xué)習(xí)方程

朱春雷

教學(xué)內(nèi)容:蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(六上)第1頁的例1和“練一練”,“練習(xí)一”的第1～5題。

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生在解決實際問題的過程中,理解并掌握形如ax±b=c方程的解法,會列上述方程解決兩步計算的實際問題。

2.使學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象為方程的過程,進一步體會方程的思想方法及價值。

3.使學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動的過程中,養(yǎng)成獨立思考、主動與他人合作交流、自覺檢驗等習(xí)慣。

教學(xué)重點:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法,會列方程解決兩步計算的實際問題。

教學(xué)難點:如何指導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,將現(xiàn)實問題抽象為方程。

教學(xué)過程

課前談話導(dǎo)入:同學(xué)們,經(jīng)調(diào)查,我們班大部分同學(xué)的年齡是12歲(虛歲),也可以通過推理推算出來,7歲入學(xué),在學(xué)校學(xué)了五年,正好是12歲。老師今年是39歲,師在黑板上板書39和12。下面請同學(xué)比較一下老師和你的年齡,并用一句話把比較的結(jié)果說出來,注意啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生說出:“老師的年齡比我年齡的3倍還多3歲”,“老師的年齡比我年齡的4倍少9歲”。兩種說法都可以。接著問,明年呢?“老師的年齡比我年齡的3倍還多1歲”。

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生熟悉的年齡話題引入,并訓(xùn)練學(xué)生對兩數(shù)大小比較,為新課分析數(shù)量關(guān)系作理解鋪墊。把抽象的數(shù)量關(guān)系分析生活化,利于學(xué)生進入學(xué)習(xí)情境。

一、在現(xiàn)實問題情境中分析數(shù)量關(guān)系,列出方程,探索解方程的方法——教學(xué)例1

(一)在情境中分析數(shù)量關(guān)系,提出問題

1.師談話進入情境:孫悟空跟隨師父歷盡千辛萬苦從西天取來大量經(jīng)書,藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。(出示大雁塔和小雁塔的圖片)這節(jié)課,我們先來研究一個與這兩處建筑高度有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。(出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”,暫不出示所求的問題)

2.師讓生讀出這段文字并提問:誰比誰少22米?讓學(xué)生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比,少22米,可以把小雁塔高度的2倍看做一個整體。”

師進一步啟發(fā):這句話清楚地說明了大雁塔和小雁塔高度之間的關(guān)系,請同學(xué)們用數(shù)量關(guān)系式表示出大雁塔和小雁塔高度之間的相等關(guān)系。

出示學(xué)生可能想到的等量關(guān)系式:①小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度;②小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22;③小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引導(dǎo)學(xué)生觀察第一個等量關(guān)系式。師:經(jīng)測量小雁塔高度是43米,你能利用這個關(guān)系式口答出大雁塔的高度嗎?學(xué)生口答,師板書:2×43-22=64(米)。

【設(shè)計意圖】運用數(shù)量關(guān)系直接求出高度,體會順向思維。既感受數(shù)量關(guān)系的價值,又為下面的逆向思維作出對比準(zhǔn)備,更重要的是讓學(xué)生在下面列方程時也要像這樣順向思維進行思考。

4.師:如果知道大雁塔的高度是64米,你能提出什么問題?

生:小雁塔的高度是多少米?(出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1補充完整。)

【設(shè)計意圖】在清楚數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上,學(xué)生已經(jīng)把問題遷移到需要用逆向思維考慮解決的問題上。讓學(xué)生自己提出問題,突出解決問題是學(xué)生自己的學(xué)習(xí)需求,也為他們探索解答作出心理準(zhǔn)備。

(二)根據(jù)等量關(guān)系布列方程,同時喚起有關(guān)方程的舊知

1.生觀察第一個等量關(guān)系式,師提問:在這個等量關(guān)系式中,這時哪個數(shù)量是已知的?哪個數(shù)量是我們?nèi)デ蟮?

追問:讓你求小雁塔的高度怎么辦呢?我們可以用什么方法來解決這個問題?

生:可以列方程解答。如果學(xué)生列出正確的算式進行解答,師給予肯定,再引導(dǎo)學(xué)生用方程的方法解決問題。

師明確方法,并提示課題:這樣的問題可以列方程來解答。今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)列方程解決實際問題。(板書課題:列方程解決實際問題)

2.師談話:我們在五年級已經(jīng)學(xué)過列方程解決簡單的實際問題,結(jié)合今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容,誰來說一說列方程解決實際問題一般要經(jīng)過哪幾個步驟?

生能大概說出“寫設(shè)句、列方程、解方程和檢驗等即可。

3.讓學(xué)生先自主嘗試設(shè)未知數(shù),并根據(jù)第一個等量關(guān)系式列出方程。

解:設(shè)小雁塔高x 米。

2x-22=64

【設(shè)計意圖】經(jīng)歷由現(xiàn)實問題抽象為方程的過程。在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程中,先由情境抽象成數(shù)量關(guān)系式,再根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程,實現(xiàn)了學(xué)生在逐步抽象的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性。

(三)自主探索解方程的方法,體會轉(zhuǎn)化的思想

提問:這樣的方程,你以前解過沒有?運用以前學(xué)過的知識,你能解出這個方程嗎?

交流中明確:首先要應(yīng)用等式的性質(zhì)將方程兩邊同時加上22,使方程變形為2x=?,即把用兩步計算的方程轉(zhuǎn)化為一步計算,變新知為舊知,再用以前學(xué)過的方法繼續(xù)求解。

要求學(xué)生接著例題呈現(xiàn)的第一步繼續(xù)解出這個方程。學(xué)生完成后,組織交流解方程的完整過程,核對求出的解,并提示學(xué)生進行檢驗,最后讓學(xué)生寫出答句。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在自主探索方程解法的過程中,體會運用轉(zhuǎn)化策略,把兩步轉(zhuǎn)化成一步、復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單、新知轉(zhuǎn)化成舊知。

(四)思考其他方法,感受解法的多樣化

1.提問:還可以怎樣列方程?

學(xué)生列出方程后,要求他們在小組內(nèi)交流各自列出的方程,并說說列方程的根據(jù),以及可以怎樣解列出的方程。如果學(xué)生不能列出其他方程,師不能作硬性要求。

2.引導(dǎo)小結(jié):剛才我們通過列方程解決了一個實際問題。你能說說列方程解決問題的大致步驟嗎?其中哪些環(huán)節(jié)很重要?

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注:⑴要根據(jù)題目中的信息尋找等量關(guān)系,而且一般要找出最容易發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系;⑵分清等量關(guān)系中的已知量和未知量,用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及時進行檢驗。(師板書:找等量關(guān)系;用字母表示未知數(shù)并列方程;解方程,檢驗。)

【設(shè)計意圖】通過解法的多樣化,使學(xué)生明白可以根據(jù)自己學(xué)習(xí)實際和思維習(xí)慣分析數(shù)量關(guān)系,列方程解決問題,同時訓(xùn)練學(xué)生思維,拓展學(xué)生解決問題的思路。

二、自主嘗試列方程解決實際問題,注意比較例題,進一步形成解決問題模式——自主合作學(xué)習(xí)“練一練”

“杭州灣大橋是目前世界上最長的跨海大橋,全長大約36千米,比香港青馬大橋的16倍還長0.8千米。香港青馬大橋全長大約多少千米?”

談話:我們已經(jīng)初步掌握列方程解決稍復(fù)雜的實際問題的方法和步驟,下面就請同學(xué)們試著解決一個實際問題。做“練一練”。

1.先讓學(xué)生讀題,并設(shè)想解決這一問題的方法和步驟,然后讓學(xué)生獨立完成。

2.小組合作交流。交流前要出示交流順序提示:⑴說說找出了怎樣的等量關(guān)系;⑵根據(jù)等量關(guān)系列出了怎樣的方程;⑶是怎樣解列出的方程的;⑷對求出的解有沒有檢驗。

3.最后讓學(xué)生核對自己的答案,檢查自己的解題過程。

針對學(xué)生不同的思路和方法(包括用算術(shù)方法),教師在提出主導(dǎo)意見的基礎(chǔ)上要予以肯定。

4.啟發(fā)思考:這個問題與例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提煉出列方程解決稍復(fù)雜的實際問題的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在獨自解決問題的過程中學(xué)會解決問題,在探究中學(xué)會合作。

三、運用方程策略獨立解決實際問題,牢固形成解決問題模式(建構(gòu)牢固的數(shù)學(xué)模型)——做“練習(xí)一”的第1～5題

談話:在列方程解決問題的過程中,有兩個方面要引起我們重視,一個是尋找等量關(guān)系,能用含有字母的式子表示具體數(shù)量;另一個就是解方程。下面我們就對這兩個方面進行進一步的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練。

1.做“練習(xí)一”第1題

“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”

先讓學(xué)生說說解這些方程時,第一步要怎樣做,依據(jù)是什么,然后讓學(xué)生獨立完成。交流反饋時,要在關(guān)注結(jié)果是否正確的同時,了解學(xué)生是否進行了檢驗。(三個同學(xué)到黑板上板演,其他同學(xué)選做一題。)

2.做“練習(xí)一”第2題

“在括號里填上含有字母的式子。

(1)張村果園有桃樹x棵,梨樹比桃樹的3倍多15棵。梨樹有()棵。

(2)王叔叔在魚池里放養(yǎng)鯽魚x尾,放養(yǎng)的鳊魚比鯽魚的4倍少80尾。放養(yǎng)鳊魚()尾。

學(xué)生獨立完成后,再要求學(xué)生說說寫出的每個含有字母的式子分別表示哪個數(shù)量,是怎樣想到寫這樣的式子的?(把題目中的多、少改成少、多讓學(xué)生再表示)

3.做“練習(xí)一”第3題

“獵豹是世界上跑得最快的動物,時速能達到110千米,比貓最快時速的2倍還多20千米。貓的最快時速是多少千米?”

談話:同學(xué)們,我們既能準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系,又能正確解方程,那么我們就具備了解決實際問題的能力了。就請同學(xué)們獨立解決一個問題。

學(xué)生獨立完成后,指名說說自己的思考過程,進一步突出要根據(jù)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系列方程。

4.課堂作業(yè):做“練習(xí)一”的第4題和第5題。

“北京故宮占地大約72公頃,比天安門廣場的2倍少8公頃。天安門廣場大約占地多少公頃?”

“世界上最小的鳥是蜂鳥,最大的鳥是鴕鳥。一個鴕鳥蛋長17.8厘米,比一只蜂鳥體長的3倍還多1厘米。這只蜂鳥體長多少厘米?”

【設(shè)計意圖】在鞏固訓(xùn)練和應(yīng)用策略階段采用先部分后整體的練習(xí)步驟,進一步深化認(rèn)識,并在體驗中達到知識和技能的內(nèi)化。

四、總結(jié)列方程解決問題的思路、方法,體會方程的思想和價值——學(xué)生拓展設(shè)計

1.學(xué)生拓展設(shè)計

師:請同學(xué)們回到課前,我們師生關(guān)于年齡的對話中,看39歲和12歲,你能設(shè)計一個用今天所學(xué)的策略和方法解答的實際問題嗎?

師要多聽學(xué)生的發(fā)言,考慮學(xué)生所說數(shù)量之間的關(guān)系以及提出問題的貼切性并作出評價和概括。

2.今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?你有哪些收獲?還有沒有疑惑的地方?教師同時總結(jié),方程是我們解決問題很重要的一個策略,正確地運用方程,能幫助我們解決很多實際問題,尤其是用算術(shù)方法不容易解決的一些問題。我相信同學(xué)們經(jīng)過今天的學(xué)習(xí),對方程會有更深的認(rèn)識,并在以后的學(xué)習(xí)和運用中進一步學(xué)好和用好方程。

【設(shè)計意圖】在照應(yīng)課前學(xué)習(xí)和學(xué)生拓展運用的基礎(chǔ)上,充分體會方程的思想和價值,把學(xué)生的認(rèn)識進一步提升,對方程有較為全面的理解和掌握。