兩位同時代的數學大師（上）

蔡天新

太湖的西北和東南

在十九世紀后期和二十世紀初期,中國東部太湖流域人才輩出,誕生了許多位大師級的人物,猶如兩宋時期的鄱陽湖流域。太湖的北岸和南岸分別是江蘇的蘇、錫、常和浙江的杭、嘉、湖這六座城市,可謂是中國百姓口中傳誦的“魚米之鄉”,也是文人墨客詩詞里所贊美的“江南”。

一九一○年十一月十二日,數學奇才華羅庚出生在常州市金壇縣的一個小商人家庭。他的父親出身學徒,經過多年艱苦努力,擁有了三家規模不等的商店,一度擔任縣商業絲會的董事。不料后來一場大火把大店燒個精光,接著中店也倒閉了。等到羅庚出世時,華家只剩下一爿經營棉花的小店了。

金壇在太湖西北方向,而在太湖東南方向,一個叫秀水(嘉興)的縣城里,在羅庚出世不到一年,即一九一一年十月二十八日,也誕生了一位非凡的天才,日后注定要成為羅庚的室友、同行和競爭對手。此人姓陳,名省身。與羅庚的家庭背景不同,省身的父親是個讀書人,中過秀才。有了兒子以后,做父親的考入了杭州的法政學校。畢業后進入司法界工作,很少回家。省身跟著疼愛他的祖母和小姑識字讀文。有一次父親回嘉興過年,教會他阿拉伯數字和四則運算,并留下了一套傳教士編的《筆算數學》,沒想到小小年紀的省身竟然能做出書中的大部分習題,并由此對數學產生了興趣。由于家庭的溺愛,省身只讀了一天小學。進入秀州中學高小部后,除了能做相當復雜的數學題以外,省身也非常喜歡國文,課余還能讀些《封神榜》等閑書,文學氣質獲得熏陶,他甚至在校刊上發表了兩首自由體的詩作。一九二二年,他的父親轉任天津法院,全家從此離開了嘉興。

就在陳家北上的那年,羅庚進入了金壇初級中學。他在小學時因為淘氣成績有點糟糕,只拿到一張修業證書。不過,從第二年開始,數學老師便對羅庚另眼相看了。三年級時,羅庚已著力簡化書中的習題解法,他在國文方面同樣有所長進,并對古體詩歌感興趣。初中畢業,羅庚考進了教育家黃炎培在上海辦的中華職業學校商科,相當于今天的初中中專,學費全免,只需付食宿和雜費。

那一年是一九二六年,小一歲的省身在天津從詹天佑任董事的扶輪中學(今天津鐵路一中)畢業,他跳過大學預科,直接進入南開大學。而羅庚雖在上海市珠算比賽中獲得第一名,卻由于家庭經濟困難輟學,回家幫父親站柜臺。十六歲那年,他與同城的一位吳姓姑娘成了親,而省身完婚已二十八歲,早獲得洋博士并榮任大學教授了。值得一提的是,年輕時的羅庚相貌周正、身材魁梧。婚后第二年,妻子生下一個女兒,可是,羅庚依然喜歡看數學書和演算習題,有時看書入迷忘了接待顧客,老父知道后不由得怒火中燒。

又過了一年,以前賞識羅庚的初中老師王維克從巴黎大學留學歸來,擔任金壇中學校長,他看到羅庚家庭困難同時又好學,便聘請他擔任學校會計。這位王校長雖然學理,曾聽過居里夫人的課,卻也是個有成就的翻譯家,是意大利詩人但丁的《神曲》和印度史詩《沙恭達羅》的第一個中文譯者。那時的中學老師不僅學識高,且對學生有一顆真誠的愛心。此前的校長韓大受也出版過《訓詁學概論》等多部著作,在做人學習等方面循循教導學生。現在羅庚被認為是自學成才的典范,其實他在初中階段就已廣受教益,這一點是如今的教育制度難望其項背的。

可是,正當王校長準備提拔羅庚,讓他擔任補習班的數學教員時,華家的不幸卻接踵而至。先是母親得了子宮癌去世,接著羅庚患上傷寒癥,臥病在床半年,后來雖然被救活,卻落下了殘疾,走路需要左腿先畫個圓圈,右腿才能跟上,被人戲稱為“圓規與直尺”。可是,也正因為腿的殘疾,更堅定了羅庚攻讀數學的決心。否則的話,聰明的羅庚對自己的人生之路也許另做抉擇。那年十二月,上海的《科學》雜志以讀者來信的方式發表了羅庚的論文《蘇家駒之代數的五次方程式解法不能成立之理由》,從此改變了他的命運。

說到五次方程的一般解,自從十六世紀的幾個意大利人解出了三、四次方程以后,便成為數學家最渴望解破的難題。直到一八二四年,挪威青年阿貝爾證明此類一般解并不存在。可是到了一九二九年,上海的《學藝》雜志卻刊登了一篇論文《代數的五次方程式之解法》。行家一看就知道不對,但卻沒人去挑毛病。年輕無名的羅庚卻認真地拜讀并琢磨,終于發現有一個十二階的行列式計算有誤,遂撰文陳述理由并否定了“蘇文”的結果,他也因此一舉成名。清華大學算學系主任熊慶來讀到羅庚的文章,和同事們暗自高興,經過打探,找到羅庚并向他發出了邀請。

那年羅庚年方二十,而十九歲的省身即將從南開大學畢業。入讀南開之前,省身便因為該校的同鄉老師、數學史家錢寶琮的緣故,與數學更親近了。錢寶琮和省身父親是中學同學,后來留學英國。那時的南開理學院新生不分系,有一次上化學課,老師要求吹玻璃管,省身面對玻璃片和火焰一籌莫展,后來雖勉強吹成,但他卻嫌太熱用冷水去沖,結果玻璃管當即粉碎。這件事對省身觸動很大,他發現自己動手能力差,于是決心放棄理化獻身數學。很快,省身得到了系主任、哈佛大學博士姜立夫先生的賞識,對幾何學萌生了興趣。畢業前夕,他考上清華大學,成為中國第一個研究生。

從清華園到歐羅巴

舊中國的科學底子薄弱,尤其在一九三○年以前,當時只要是在外國取得博士學位回來的人,統統被聘為教授。這些教授待遇優厚、衣食無憂,加上教學繁忙、資料匱乏,缺少良好的環境和氛圍,基本上放棄了學術研究。以姜立夫為例,在南開數學系最初的四年里,只有他一個教師,什么課都得他親自講授。一九四九年以后,他又在廣州創建了嶺南大學數學系(后并入中山大學)。而清華大學算學系主任熊慶來當時只有法國的碩士學位,卻是東南大學(后改名中央大學)、清華大學兩所大學數學系的創建人和首任主任。

清華大學畢竟是“皇家學院”,美國退回的“庚子賠款”除了資助姜立夫這樣的青年才俊留學以外,還用以創辦和扶持清華學校。清華學校請來了美國康奈爾大學數學碩士鄭桐蓀(后成為陳省身的岳父),由他擔任大學部算學系主任。一九二八年,正是在鄭桐蓀的舉薦下,熊慶來出任更名為清華大學的算學系主任,不久又有芝加哥大學博士孫光遠和楊武之(楊振寧的父親)加盟。可是這四位教授中,只有孫光遠仍在繼續做研究,他的主攻方向是微分幾何。孫光遠是浙江杭州人,與省身算是半個同鄉。省身進入清華大學以后,成為孫光遠的研究生。那年清華算學系共錄取兩位研究生,另一位吳大任因為家庭原因推遲入學,系里決定讓省身先做一年的助教。

次年八月,正當省身開始讀研究生之際,羅庚來到了清華大學。作為一名助理員,羅庚的辦公室就在系主任熊慶來的辦公室外面,無論誰來找主任,都會見到他。羅庚性格外向,說話風趣,很快與大家熟悉了,包括省身。那時羅庚的薪水只有助教的一半,略高于工友,與省身的研究生津貼相差不多,羅庚的家屬仍留在老家金壇,那年夫人又生了個兒子。因為經濟困難,清華五年他只有在寒暑假才回老家。王元在《華羅庚》里,記載了恩師晚年的一次回憶:“每當我寒暑假回家鄉探親時,熊慶來先生總是依依不舍,他生怕我嫌錢少不肯再回來了。他哪里知道,清華給我的錢比金壇中學給我的錢優厚多了,清華對我來說是求之不得的。”

雖然羅庚來清華那年,借著成名作的光在《科學》上一氣發表了四篇論文,但那些工作都是原來在家鄉完成的,屬于低水平的初等數學。到清華以后,他如饑似渴地聽課和鉆研高等數學,接下來的兩年里沒有發表論文。省身后來寫道:“這個時期是羅庚自學最主要和最成功的一段。在那幾年里,他把大學的功課學完了,并開始做文章。”從一九三四年開始,羅庚的數學潛能得到了充分的發揮,他每年都發表六到八篇論文,其中大多是在國外刊物,包括德國的權威雜志《數學年刊》,一時聲譽鵲起。這些論文大多是數論方面(楊武之是他的引路人),也有的是代數和分析,顯示了他多方面的興趣和才華。他甚至在自學英語上也有一套奇特的方法。

正當羅庚開始大顯身手的時候,自小目標遠大的省身已通過碩士學位論文答辯,準備出國留學了。省身將赴漢堡大學,隨布拉施克教授研究幾何。說到這位德國導師,省身與他的結識要歸功于同城的北京大學。

就在財源充足的清華大學修筑大樓、廣招賢能的時候,歷史悠久的北京大學卻人心渙散、紀律松弛,經常拖欠教授薪水。待到文學院院長胡適出任掌管“庚子賠款”退款的中華教育文化基金會董事之后,力促其通過了資助北大的“特款辦法”,情況才有了改變。北大研究院也在清華研究院成立兩年之后掛牌,同時開始邀請外國專家來校講學。布拉施克便是最早來到北大的數學家之一,他的系列講座題目是“微分幾何的拓撲問題”。每次聽課省身都沒有落下,得以結緣這位數學大家。

易北河與劍河之水

晚年的陳老談到自己成功的秘訣時,認為一半是天分,一半是運氣。可以說,省身最初的運氣便是在北大結識布拉施克教授。他抵達漢堡是在一九三四年秋天,此時希特勒已經上臺,所謂的“公務員法”也已頒布,規定猶太人不能當大學教授,哥廷根這類名校首當其沖受到沖擊。而漢堡這所新大學因為沒有猶太教授相安無事,可以繼續做學問。等到一九三七年,“新公務員法”頒布,連猶太人的配偶也不能當教授時,省身早已獲得博士學位,被導師推薦到巴黎跟大數學家嘉當深造去了。

省身在漢堡期間,并沒有埋頭寫論文,而是把重點放在學習和掌握最前沿的幾何學方法上,同時與一些大家建立起比較廣泛的聯系。除了布拉施克和嘉當以外,省身還與法國布爾巴基學派的代表人物韋伊、美國普林斯頓的維布倫等有了交流。這就像長距離的跑步或劃船比賽,必須緊緊跟上第一梯隊,才能伺機突破并超越。

相比之下,自小苦出身、又缺乏家長和名師指點的羅庚更多地依靠個人奮斗和自學,因此也特別刻苦。被清華破格聘為職位較低的助理員后,特別珍惜也更加努力地鉆研學問,他在短時期里便在國內外發表了數量可觀的研究論文,這與“名門出身”的省身風格不同。不過,在布拉施克訪問北大三年之后,清華也邀請到了兩位級別更高的大數學家,那便是法國數學家哈達瑪和美國數學家維納,他們在北京停留的時間也更久。

哈達瑪在數學的許多領域都有開創性的工作,其中在解析數論方面尤為出色,他率先證明了素數定理,那是“數學王子”高斯夢寐以求的結果。那項工作是在十九世紀末完成的,即使半個多世紀以后,因為這個定理的一個初等證明,又頒發了一項菲爾茲獎和一項沃爾夫獎。哈達瑪來中國時年事已高,不在前沿做學問了,而維納那會兒年富力強。作為控制論的發明人,維納為數學史書寫了光輝的一頁。維納對羅庚極為欣賞,推薦他去自己年輕時求學的劍橋大學,跟隨當年的老師哈代。不用說,羅庚留英的獎學金也是來自那筆“庚子賠款”。

羅庚沿著西伯利亞鐵路,經莫斯科來到柏林,省身從漢堡趕來相聚。那會兒正逢夏季奧運會在柏林舉行,兩人興致盎然地一起觀看比賽。當年秋天,省身離開漢堡轉道倫敦去巴黎時,也曾特意到劍橋看望羅庚。當然,從省身輕松面對學問這一點來看,他到柏林和劍橋并非單純去見羅庚,而與他比較貪玩也有關系。這里需要提及,據中華文化教育基金會的檔案記載,在羅庚到劍橋訪學之前,曾兩度獲得該基金會到漢堡大學研修的資助,但他都沒有成行。倘若那時羅庚來漢堡,可能會隨赫克或阿廷研究前途無量的代數數論,那樣的話,后來中國數學的面貌將會有較大的不同。

羅庚抵達劍橋時,哈代正在美國講學,行前他看過維納的推薦信和羅庚的論文,留下一封短函。哈代在信中告訴羅庚,他可以在兩年內拿到博士學位。可是,羅庚為了節省學費和時間,放棄了學位攻讀,他專心于聽課、參加討論班和做論文。一年以后,哈代旅行歸來,似乎也沒有給羅庚以指導。可以說,羅庚又一次依靠自學。他在劍橋的兩年時間里,寫出了十多篇堪稱一流的論文,大大超出了以前的水準。用王元的話講就是,“已經脫胎換骨,成為一個成熟的數學家了”。當然,這與劍橋擁有非常強的解析數論研究團隊不無關系,他們與當時頂尖的數論學家、蘇聯的維諾格拉朵夫聯系密切。這是羅庚的另一大收獲,他與蘇聯數學家建立了學術聯系,這對他以后的研究尤其重要。

兩年以后,羅庚啟程回國,當他向哈代辭行時,大師問他在劍橋都做了哪些工作,羅庚一一道來。驚訝之余,哈代告訴羅庚自己正在寫一本書,會把他的一些結果收錄其中。這本書便是劍橋出版社出版的《數論導引》(一九三八),羅庚的那些結果可能是近代中國數學家最早被外國名家引用的成果。羅庚在劍橋取得的主要成就表現在,完整三角和的估計、圓法和華林問題、布勞赫-塔內問題以及哥德巴赫猜想等方面。與此同時,羅庚有了后來成為他代表作的《堆壘素數論》的腹稿。

從昆明到普林斯頓

一九三七年,即羅庚從英國回國的前一年,省身便準備從巴黎啟程了,那時他已經在歐洲居留了三年,母校清華大學聘他為教授。沒想到就在啟程前三天,爆發了“七七事變”,日本人占領了北京城。雖然前途未卜,可是省身卻不顧危險依舊踏上回程。當郵輪抵達長江口時,卻發現岸上火光沖天,原來上海剛被日本人占領。不得已,郵輪掉頭向南去了香港。到達香港后又滯留了一個多月,方才得知清華與北京、南開大學已搬到湖南,組成長沙聯合大學。省身趕在開學前抵達。戰火迅速向南蔓延,省身在長沙只待了兩個多月,便又隨學校南遷至昆明。

就在省身抵達昆明的那一年,羅庚從英國回來了,他也被破格聘請為西南聯大的教授,兩人當時年紀只有二十七八歲。在羅庚輾轉從香港、西貢和河內抵達之前,他的夫人和孩子們已先期來到,一家團聚之后住在郊區,以避開日軍飛機的轟炸。“聯大”也坐落在郊區,但離華家比較遠,羅庚每次坐著顛簸的牛車去上課。后來,在有課的時候羅庚就住到學校里,和另外兩個單身漢同居一室,其中就有省身。

在西南聯大的那些年里,羅庚和省身的數學研究都取得了新的突破。兩人有一年時間住在一個房間里,每人一張床、一張書桌和一把椅子。那時“聯大”的教授盡管生活清貧、工作條件艱苦,教書和研究熱情卻異常高漲,還有許多出類拔萃的學生,如楊振寧、鄧稼先、李政道等。一段時間里,羅庚和省身一早起來有說有笑的,然后便沉浸在各自的數學空間里,直到深夜。雖然兩人從未合作寫過論文,但他們在“聯大”聯合舉辦過“李群”討論班,這在當時全世界都十分先進。

在“聯大”期間,羅庚在數論方面的研究主要與獲得牛津大學博士并在普林斯頓做過博士后的閔嗣鶴合作,同時努力完成自己的第一本專著《堆壘素數論》。其時羅庚已是這個領域的領袖級人物了,但他并不滿足于此,而是另辟蹊徑,在自守函數和矩陣幾何領域均做出了出色的工作,前者至今仍是研究熱點,后者與省身老師嘉當的工作有關。羅庚在一篇論文的尾末還提到省身,感謝他提供嘉當論文的抽印本。此外,他還研究了代數學中的若干問題,如有限群、辛群的自同構性質,后者在不久的將來引導他深入研究典型群論。

與此同時,省身的學術研究也取得了新的進展。回國第二年,他便在美國的《數學年刊》上發表了一篇論文,這家由普林斯頓大學與高等研究院聯合主辦的刊物今天仍是全世界數學領域里的重鎮。幾年以后,省身又兩度在《數學年刊》上露面,他在克萊因空間的積分幾何等領域做出了出色的工作。法國數學家韋伊在《數學評論》上撰寫長文,予以高度評價,認為此文超越了布拉施克學派原有的成就。這些工作為省身后來進入并立足美國鋪平了道路,也正是在那段時間,他對高斯-博內公式產生了濃厚的興趣。

一九四三年夏天,省身應邀赴美訪學,在普林斯頓逗留了兩年半,完成了一生中最出色的工作,包括給出高斯-博內公式的內蘊證明,這標志著整體微分幾何新時代的來臨。這項工作是在抵達美國最初三個月內完成的,足見他在昆明時已做了充分準備。兩年后,在接獲母親病危消息回國前夕,省身又提出了現在被稱作“陳示性類”的不變量理論。那時抗戰已取得勝利,羅庚在國內以其個人的成就和交游能力,可謂如魚得水。他先是應邀訪蘇,接著又被選入赴美考察團。一九四六年春天,正當羅庚準備出發去美國時,省身回國了,兩人在上海得以晤面。按照省身的回憶,“他(羅庚)負有使命,但我們仍談了不少數學,我們的數學興趣逐漸接近”。

(待續)