《抽屜原理》課堂實錄與反思

曾　靜

教學內容：

人教版小學數學六年級下冊第五單元《數學廣角》。教學目標：

知識與技能：

1．初步了解“抽屜原理”。

2．用操作枚舉或假設的方法探究“抽屜問題”的一般規律。

3．會用抽屜原理解決簡單的實際問題。

4．體會數學知識在日常生活中的廣泛應用，培養學生的探究意識和能力。

過程與方法：

經歷從具體到抽象的探究過程，初步了解抽屜原理，提高有條理地思考和推理的能力，體會比較的學習方法。

情感、態度與價值觀：

感受數學的魅力，培養學習數學的興趣。

教學過程：

一、引入新課

師：同學們，再過84天，我們將迎來舉世矚目的奧運盛會，歷經波折的第29屆奧運會即將在北京拉開帷幕。課前，老師要求大家進行“我喜愛的運動員”調查，你們做了嗎？

師：你調查了幾名？說說他的基本情況。（生答略）

師：哇，這么多呀！能把你的調查記錄展示給大家看看嗎？（生上臺展示）

師：大家信不信，老師不看屏幕，就能猜出一些運動員的基本情況！（生搖頭）不信啊，那我就試試看！如果通過驗證，老師的猜測完全正確，你們就來點掌聲，好嗎？（生答：好！）

師：我猜，在這位同學的調查表中，至少有7名運動員是同一性別。（掌聲）

師：在這張調查表里至少有2名運動員是同月出生的。并且至少有2名運動員的屬相相同。（掌聲）

師：我還敢肯定地說，在這13名運動員中，至少有4名運動員是同一血型。（掌聲）

師：謝謝大家的掌聲，也謝謝你！想知道老師為什么能做出如此準確的判斷嗎？其實，這里面蘊含著一個有趣的數學原理——抽屜原理。（板書：抽屜原理）這節課我們就共同來研究這個數學問題。

（設計意圖:緊扣時代旋律,激發愛國情感,聯系學生的生活實際,從學生的調查結果入手,產生認知沖突,激發學生的探究欲望,使學生積極投入到對問題的研究中。）

二、實驗探索

第一步：研究鉛筆數比筆筒數多1的情況。

1．師：首先，讓我們來做一個實驗。大家看：老師這里有4支鉛筆，講臺上有3個筆筒，如果把這4支鉛筆放進3個筆筒，會出現哪些不同的放法？你們又能從中發現什么有趣的現象？請你們以小組為單位，積極嘗試，合作交流，并把你們的放法和發現填寫在記錄卡上。

2．學生以小組為單位進行實驗操作，并把放法和發現填寫在記錄卡上。

操作記錄卡

3．匯報交流。

生1：我們組通過實際操作，發現把4支鉛筆放進3個筆筒，有這樣一些放法：（2、1、1）（1、2、1）（3、1、0）（1、0、3）（4、0、0）（0、2、2），每種放法中放入筆筒中最多的支數只有3種情況，分別是（4支、3支、2支），通過觀察，我們發現：不管怎么放，每種放法中，都有一個筆筒里的鉛筆數是2支或2支以上。

生2：我們組是這樣想的：雖然放法有許多，但是我們只對這4種情況進行了分析，第一種是（4、0、0），第二種是（3、1、0），第三種是（2、2、0），第四種是（2、1、1），每種放法放入筆筒中最多的支數分別是（4支、3支、2支、2支），通過觀察我們發現，最少的支數是2支，于是我們得出了：把4支鉛筆放進3個筆筒，無論是哪種放法，一定有一個筆筒里的鉛筆數不少于2支。

師：你們組為什么只對這四種放法進行研究呢？

生2：因為像（4、0、0）、（0、0、4）和（0、4、0）這三種放法其實都是說明了其中一個筆筒里有4支，另兩個筆筒里沒有，最多放的支數都是一樣的，都是4，所以只需分析其中的一種。

師：大家同意他的說法嗎？（生：同意）你們組的同學真棒!我們一起來看：這三種放法只是鉛筆放進筆筒的位置發生了交換，但出現的結果都是一樣的。（老師邊演示邊說）所以，我們只需做一種考慮。

生3：我們組的意見與前2組一致，也發現了：把4支鉛筆放進3個筆筒，無論怎樣放，總有一個筆筒里至少要放進2支鉛筆。

師：說得好極了！不僅善于思考，而且表達更準確了！能否告訴大家，在這里你為什么要用“總有”和“至少”這兩個詞呢？

生3：總有就是說一定會有，無論怎樣都會有；至少就是不能少于，一定不能低于某個數的意思。

師：真不簡單！是的，數學語言的最大特點就是嚴謹，“總有”“至少”這兩個詞能準確地表示出這種存在的必然性。

（設計意圖：通過學生小組合作、動手操作、觀察思考、歸納發現等系列活動，培養學生自主探究意識，體驗成功，激發再探究的動力。）

師：同學們都是好樣的！通過實驗操作、觀察，我們發現了：把4支鉛筆放進3個筆筒，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆。大家看，我們剛才所發現的這個至少數“2”，是通過把所有的放法羅列出來以后，再進行觀察所得到的。想一想，有沒有更好的方法讓我們能夠很快的找出這個至少數呢？

生4：我先在每個筆筒里各放一支，這時還剩下一支，把剩下的這1支無論我放在哪個筆筒里總會有一個筆筒里會有2支。也就是總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。（生上臺邊演示邊說）

師：你為什么要先在每個筆筒里各放一支呢？

生4：因為要想保證找出這個至少數，首先就應該讓每個筆筒里都有鉛筆，在都有的情況下，又要盡可能的都少有，也就是要先平均分，這樣余下的一支不管和哪個筆筒里的鉛筆合在一起，都能得出至少支數。

師：想得太好了！（鼓掌）也就是說，要想很快的找到這個至少數，首先就要把鉛筆盡量的平均分。誰能用算式把剛才這位同學的放法表示出來？

生5：4÷3=1……1

1+1=2

師：你能說說這個算式表示的意思嗎？

生6：4÷3，表示把4支鉛筆盡量的平均放在3個筆筒里，等于1表示每個筆筒里分得1支，余1表示還剩1支， 1+1=2表示的是至少數。

師：不錯，那按照這樣的想法，把6支鉛筆放進5個筆筒，怎么想？

生7：先在每個筆筒里各放1支，還剩1支，這剩下的1支，無論放在哪個筆筒，總有一個筆筒至少有2支鉛筆。

師：說得好！那把10枝鉛筆放進9個筆筒，情況怎樣？

生：總有一個筆筒至少有2支。

師：把100支放進99個筆筒呢？

生一齊：總有一個筆筒里至少放2支鉛筆。

師：你們發現什么規律了嗎？

生8：我發現：把鉛筆放進比鉛筆數少1的筆筒里，總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆。

師：真聰明！也就是：只要放的鉛筆數比筆筒數多1，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆。

（設計意圖：讓學生感受到既可以直觀操作，更可用假設法思考，在研究4支鉛筆放入3個筆筒的現象后，進一步引導學生用前面的方法進行類推，從中體會假設法的一般性和便捷性，從而小結出普遍性規律）

第二步：探究鉛筆數比筆筒數多得多的情況。

師：同學們，研究到這兒，你們還想更深一步的探討嗎？（生：想！）仔細想想還有一些什么問題值得我們繼續研究呢？

生1：我還想探究如果放進的鉛筆數比筆筒數不是多1，而是多2、多3，情況又會怎樣？

生2：我想探究鉛筆數比筆筒數多得多的情況。

生3：我想知道究竟什么是抽屜原理。

生4：我們剛才研究的幾種情況都是平均分后，余下的鉛筆是1支，如果這個余下的支數不是1支，而是2支或2支以上，情況又會怎樣呢？

……

師：同學們的想法可真多，而且想得很深入，現在讓我們首先來解決這樣一個問題：如果鉛筆數比筆筒數不是多1，而是多2、3……總有一個筆筒里至少放進幾支鉛筆呢？

（設計意圖：通過學生自主提問，充分發揮學生的主觀能動性，培養學生自主學習、自我解決問題的能力，讓學生真正成為課堂的主人。）

2、學生自主探究，師巡回指導。

3、反饋交流。

生1：我們組還是用實驗操作的方法，探究了8支鉛筆放進5個筆筒的現象。先在每個筆筒里各放1支，這時還剩下3支，再在3個筆筒里各放1支，我們發現：把8支鉛筆放進5個筆筒，總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆。

師：剛才出現的余數是幾？（學生答“3”）這余下的3支，你為什么要分別放進3個筆筒呢？（師邊演示邊問）

生1：因為要想保證至少出現的結果就要讓余下的支數平均分。

師：你能用算式把你剛才的放法表示出來嗎？

生1：8÷5=1……3

1+1=2

生2：我們組研究了把7支鉛筆放進2個筆筒的情況，我們是直接用算式想的：用7÷2=3……1 3+1=4（師板書），也就是說總有一個筆筒里至少放進4支鉛筆。

師：嗯，你們能夠用抽象的算式來思考，真不簡單！還有嗎？

生3：我們組研究的是8支鉛筆放進3個筆筒的問題，我們是用假設法來想的：按照盡量平均分放的原則，假設先在每個筆筒里各放2支，這時還剩下2支，用8÷3=2……2（師板書），這剩下的2支也應該分別放進2個筆筒，也就是在2個筆筒里各放1支，用2+1=3（師板書），于是，我們發現：8支鉛筆放進3個筆筒，總有一個筆筒里至少放進3支鉛筆。

師：你的發言很有條理！值得學習！大家看：當鉛筆數比筆筒數不是多1時，總有一個筆筒里至少出現的支數又是多少呢？

生4：有的是2，有的是3，有的是4。

師：對，還可能是5，6，7……再來觀察這些式子，你們覺得求這些至少數有什么規律呢？

生5：用鉛筆數除以筆筒數，所得的商加1就求出了這個至少數。

師：你觀察得真仔細！（邊指邊說）為什么要用商加1，而不是商加余數呢？

生：因為余下的支數也要盡量的平均分。

師：是的，因為余數要比除數小，所以余下的支數在盡量平均分時，分到的筆筒最多也只能分到1支，那么這個至少數就只能是商+1，而不是商加余數。

師：其實剛才我們所研究的這個鉛筆數實際上就是物體數，筆筒數就相當于抽屜數。那這個式子還可以怎樣表述？

生：物體數÷抽屜數=商……余數（師邊說邊板書）至少數=商+1

（設計意圖：抓住假設法最核心的思路就是用“有余數的除法”形式表示出來，通過觀察式子，發現求至少數的一般方法，使學生從本質上理解了“抽屜原理”。）

師：如果用n表示抽屜數，k表示商，b表示余數，那么這個物體數怎樣求？

生6：物體數=kn+b（師板書：kn+b）至少數為k+1。

師：那這個規律用語言還可以怎樣表達？

生7：把kn+b個物體放進n個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進k+1個物體。

師：也就是把多于kn個物體放進n個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進（k+1）個物體。你們的這一發現就是著名的抽屜原理。（板書）

師：下面讓我們來聽一段關于抽屜原理的介紹。（播放一段視頻資料）

（設計意圖：增加數學文化氣息，拓展學生知識面，同時教育學生學習數學家觀察生活的態度，研究問題的方法，感受數學在生活中的作用，滲透唯物主義思想教育。）

三、應用原理

師：同學們，100多年前，數學家狄里克雷發現了抽屜原理，今天，你們通過自主探究，也發現了這一規律，老師真替你們高興！其實這一內容就在教科書的70頁和71頁，大家打開來看看！（生看書）

1．想一想，說一說。

（1）7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有幾只鴿子要飛進同一鴿舍？

（2）把9本書放入2個抽屜，則總有一個抽屜里至少放幾本書？

（3）有5袋餅干，每袋10塊，發給6個小朋友，總有一個小朋友至少分到幾塊餅干？

2．他們說的對嗎？為什么？

向東小學六年級共有370名學生，其中六（2）班有49名學生。

A、六年級里至少有2名學生的生日是同一天。

（

）

B、六（2）班只有5名學生的生日在同一月。

（

）

（設計意圖：實際問題與抽屜原理之間架起一座橋并不容易。在通過分層次練習，引導學生如何把具體問題轉化為抽屜問題，突破了本課堂的難點。）

師：同學們想一想，剛才我們用抽屜原理解決問題的關鍵是什么？

生：我認為關鍵是要找準物體數和抽屜數。

師：對，關鍵就是要弄清把什么當作物體，把什么看作抽屜。

3．分析課初老師所做的猜測。

師：（展示課初出示的調查表）為什么老師每次都能作出如此準確的判斷呢？例如：我肯定13名運動員中至少有7名運動員是同一性別，4名運動員同一血型，2名同屬相或同月出生？你能破解其中的奧秘嗎？

教師引導學生分析關鍵：

把運動員的人數當作物體數。

把男女兩種性別當作抽屜。

把一年12個月當作抽屜。

把4種血型當作抽屜。

把12個生肖當作抽屜。

（設計意圖：研究的問題源于生活，還要還原到生活。讓學生利用所學揭示課始準確猜測之奧秘，達到鞏固應用的目的。）

4．玩“猜撲克”的游戲。

師：好，接下來，我們就一起來玩個“猜撲克”的游戲。看，老師這兒有一副撲克牌，現在老師抽走其中的2張王牌，（邊說邊抽）誰愿意上來隨意的抽取，你來！（洗牌）記住：不能少于5張。（1名學生抽5張牌）

師：大家來猜一猜，這5張牌里至少有幾張是同花牌？

生1：我猜這5張牌中至少有2張同花牌。我是這樣猜的：把撲克中的黑、紅、梅、方這4種花色看作4個抽屜，把抽出的5張牌看作5個物體，根據抽屜原理，5÷4=1……1

1+1=2，其中總有一種花色至少出現2張牌。

師：我們一起來驗證一下，他猜對了嗎？（生答：對）

師：好，現在請你來拿牌，我來抽。（師抽14張牌)

師：我抽14張牌，你來提問考考大家。

生：14張牌中至少有幾張是同花牌？（生答：4張）

師：再想想，你們還能猜出什么？

生2：我還能猜出在這14張撲克牌中，至少有一個對子。

師：你是怎樣猜出來的？

生：把A——K這13種牌看作抽屜，把抽出的14張牌看作物體，用14÷13=1……1，1+1=2，所以這14張牌中至少會出現1個對子。（一起驗證）（掌聲）

（設計意圖：增強練習應用的趣味性，讓學生感受抽屜原理原來離我們這么近。）

5．學生把現實生活中能用抽屜原理解釋的現象寫下來。

（設計意圖：讓學生充分展開想象和思考，充分調動生活中的感性經驗積累，挖掘生活中的抽屜原理現象，對本課深化與延伸。）

教學反思

“抽屜原理”的應用廣泛且靈活多變，可以解決一些看上去很復雜、覺得無從下手，卻又是相當有趣的數學問題。對于簡單“抽屜原理”現象，學生已有簡單生活的積累，但對于這一原理所揭示的一般性規律，學生卻從未接觸，也極少用到證明推理。因此在本節課的教學中，重在引導學生主動經歷將具體問題“數學化”的過程，幫助他們積累數學活動的經驗與方法，體會用數學知識解決生活中具體問題的趣味和便捷。

1．創設情境，讓學生滋生探究欲望

興趣是最好的老師，是調動學生積極探究知識的動力，學生感興趣就會很積極地參與到學習中來，反之他們則會不予理睬。對于“抽屜原理”的學習，學生以前并沒有接觸過，學生以前理解數學問題全都是由數量和數量關系組成，解決問題時基本上是用算術和幾何知識，極少用到推理的知識。所以，教學中激發學生學習的興趣尤為重要。本節課中，我從學生的調查表入手進行猜測，很快抓住學生的注意力，使學生產生“疑而不解，又欲解之”的強烈愿望，激發了學生的探究興趣，為后面探究抽屜原理、應用抽屜原理作了很好的鋪墊。

2．借助操作，為學生提供探究空間

教師不是學生學習的指揮者，而是學生學習活動的伙伴。教學中學生是學習的主體，教師只是與學生共同探索、共同研究，與學生一起解決問題、構建模型，讓學生在問題中“學”和“悟”。如學生初學“抽屜原理”時，數據一般較小，學生用動手操作或分解數的方法仍有其直觀、簡單的特點，這也是學生最容易想到的方法。但隨著數據的變大，這些方法就相當繁瑣了，此時教師就應該進行適當的引導，促使學生自覺采用更一般的方法，即假設法。這樣不僅可以調動學生學習的主動性，而且可使學生發現問題、探索問題、解決問題的能力得到提高，思維也更加活躍。

在施教過程中，我重在讓學生經歷知識發生、發展的過程，為學生提供主動參與的機會，借助把4支鉛筆放進3個筆筒的操作情境，讓學生通過放一放、記一記、想一想、議一議的過程，把抽象的數學知識同具體的實物結合起來，化難為易，化抽象為具體，發現并描述、理解了最簡單的“抽屜原理”。即“鉛筆數比筆筒數多1時，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”，此時又進行適當的引導，讓學生體驗用平均分的方法，即“假設法”更容易發現和理解“總有一個筆筒里至少放進幾支筆”的現象，并能用“有余數除法”這一類數學形式表示，認識了“抽屜原理”最核心的解題思路。

在學生已經掌握了簡單抽屜問題思考方法的基礎上，我又讓學生主動提問，進一步產生認知沖突：“當鉛筆數比筆筒數不是多１時，總有一個筆筒里至少放進幾支鉛筆呢？”留給學生較大的思考空間，讓他們以小組合作的方式，用自己喜歡的方法探究，不僅充分調動了學生學習的主動性，而且使學生發現問題、探索問題、解決問題的能力得到了很大的提高。然后通過交流說理，觀察算式，我還提出針對性的問題：“怎樣求至少數？”引導學生的思維步步深入，從本質上理解了“抽屜原理”。

3．聯系生活，延伸自主探究的激情

學生的智力活動與他對周圍事物的作用緊密聯系，即學生的理解來自他們作用于物體的活動。“抽屜問題”具有一定的思維性和抽象性，學生往往缺乏感性經驗，只有通過實際操作獲得直接經驗，才便于理解其方法，從而發現其規律。本節課“抽屜原理”是在觀察、操作、思考與推理的基礎上理解和發現的，但當學生面對生活中的具體問題時，能否將這個具體問題和“抽屜問題”聯系起來，能否找到該問題中的具體情境和“抽屜原理”的“一般化模型”之間的內在關系，是解題的關鍵。因此教學時，讓學生再經歷將具體問題“數學化”的過程，以游戲導入，又以游戲結束，從生活實例中發現規律，前后呼應，既學到了知識，又用到了知識，使學生進一步體會到“數學就在自己身邊，自己學習的就是有用的數學”，從而感受到了數學的魅力。

（責任編輯：黃佑生）