初探圓錐曲線中點弦的存在性

弦有關，因此把這它到底要滿足什么條件呢？下面的在平面解析幾何中，經常會遇到這樣的一類問題，已知如下條件（1）經過某點的直線與圓錐曲線相交兩點，使這點為兩交點的中點；（2）圓錐曲線上存在兩點關于某直線對稱；（3）圓錐曲線上兩點的線段的垂直平分線過某點；（4）圓錐曲線上存在兩點與某點的距離相等；（5）以某定點為圓心的圓經過圓錐曲線上兩點；求直線方程或判斷直線是否存在.這幾類問題都與圓錐曲線的中點定理給予回答.

些問題稱為中點弦問題.

對中點弦的問題常用點差法，即設圓錐曲線上兩點的坐標，代入圓錐曲線聯立方程組，兩式相減，利用平分差公式轉化為直線的斜率與此中點坐標之間關系來求解.此種解法，判定直線的存在性是一個難點，通常是利用判別式及數形結合加以檢驗.下面介紹一個簡單的方法，利用中點的位置來檢驗，對橢圓、拋物線，由數形結合可以得到，直線的存在的充要條件是中點在橢圓、拋物線開口的內部，而雙曲線它的中點可以在雙曲線開口的內部也可以在雙曲線開口的外部，