奇妙的幻方

傳說上古伏羲氏時，河南孟津縣(在今洛陽市東北)境內的黃河中浮出龍馬，背上有一個神奇的圖案(如圖1)，伏羲依此圖案演成八卦，后為《周易》的來源，大禹時，河南洛寧縣(在洛陽市西)洛河中浮出神龜，背上也有一個神奇的圖案(如圖2)，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州，這兩個神奇的圖案人們分別稱為河圖和洛書。

如果用現代數字表示，河圖和洛書實際上是一個數字方陣(如圖3)，這個數字方陣的奇妙之處是，這9個不同的正整數按照方陣排列，并且沿著任何行、列或主對角線上的3個數之和都等于15。

河圖和洛書傳到西方以后，立即引起數學家們的極大興趣，他們稱河罔和洛書為幻方，并進行了深入研究，還構造出一些高階幻方。

阿爾布雷特·丟勒1471年出生在德國紐倫堡，丟勒博學多才，不僅是畫家，而且是數學家、機械師、建筑學家，丟勒有一幅很有名的畫——《憂郁》，這幅畫中有一個四階幻方(如圖4)，這個幻方的奇妙之處，是它除了有一般幻方的特點外，還有另外五個特點：

1 上面兩行數的平方和等于底下兩行數的平方和：

2 第一行和第三行數的平方和等于第二行和第四行數的平方和：

3 對角線上的數的和等于不在對角線上的數的和

4 對角線上的數的平方和等于不在對角線上的數

5 對角線上的數的立方和等于不在對角線上的數的立方和。

階數為4的倍數的幻方稱為雙偶階幻方，構造這類幻方有一個簡便的方法，我們以丟勒幻方為例加以說明，

首先畫一個四階方陣，并畫出對角線，如圖5所示，從第一行左上角開始從1數數，在剝’角線上的小方格計數但不寫出，不在對角線上的小方格中依次寫出數到的數，從上到下，從左到右，寫滿為止，然后從右下角開始，從1開始數數，只在對角線上的小方格內寫數，不在對角線上的小方格只計數不寫數，從有到左，從下往上，寫滿為止，這個方法適用于任何雙偶階幻方。

法國人盧培(1687—1688年)作為路易十四的使節到邂羅(就是現在的泰國)時，學到制作任何奇數階正規幻方(數字郁是相繼的止整數)的簡單方法，并將它介紹到西方，下面我們以五階幻方為例說明這種方法。

先畫一個五行五列的大方格，大方格的頂上和右邊分別多畫出一行和一列，為了下面敘述方便，分別稱為“上加格”和“右加格”，右上角的一個小方格加陰影，首先在大方格正中間的一個小方格內填寫1，然后沿對角線上面一格填寫后續數，即2，可能會遇到兩種特殊情況：右上一個小方格超出大方格，或者右上小格已經有數，前一種情況將相應的數寫在上加格或有右加格內，同時在同一列的最下一行或者同一行的最左一列的小格內寫上相同的數，遇到后一種情況就將相應的數寫存這個數的下方一個小方格內，右上角的陰影小方格視為已有數字，例如圖6，將1填人后應該寫2，但此時已經超出大方格，因此就填到上加格內，并在同一列的最下面一個小格內填寫上2。

責任編輯 尹 娜