由中考試題看初中數(shù)學(xué)探究性試題解析

綜觀近年來全國各省市中考數(shù)學(xué)試題，我們不難發(fā)現(xiàn)，為了培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，其中出現(xiàn)了一些探究性的試題。探究性試題，就是在題目要求中探求相應(yīng)的必備條件或存在性等。由于這類試題能同時考查學(xué)生的知識與能力，并具有一定的區(qū)分度，因此，它一直受到命題者的青睞。由此看來，要想在數(shù)學(xué)中考中得高分，數(shù)學(xué)探究性試題這道“坎”必須過，那么在2010年的數(shù)學(xué)中考中，學(xué)生將面臨哪些類型的探究性試題，又該采取何種解題策略呢？下面，我就此談些體會和看法。

一、以肯定問題為素材的探究性試題

這類問題就是有適合某種已知條件或符合某種性質(zhì)的對象，解答這類問題，無論用什么方法，只需找出一個，問題就解決了。

例1：（2002，上海市中考題）已知二次函數(shù)y=x-2（m-1）x+m-2m-3，其中m為實數(shù)。

（1）求證：不論m取何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖像與x軸必有兩個交點；

（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖像x軸交于點A（x，0）、B（x，0），且x、x的倒數(shù)和為，求這個二次函數(shù)的解析式。

（1）證明：和這個二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程是x-2（m-1）x+m-2m-3=0。

∵△=4（m-1）-4（m-2m-3）

=4m-8m+4-4m+8m+12

=16＞0

∴方程x-2（m-1）x+m-2m-3=0必有兩個不相等的實數(shù)根。

則不論m取何值，這個二次函數(shù)的圖像與x軸必有兩個交點。

（2）解略。

評析：把握二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的根，是解題關(guān)鍵。

二、以否定問題為素材的探究性試題

這類問題的結(jié)論有兩種可能性：存在與不存在，一般分為三步進(jìn)行。首先，假定結(jié)論存在或成立。然后，根據(jù)已知條件和有關(guān)性質(zhì)推理，求解。最后，若推理所得結(jié)論與已知條件或有關(guān)定理、性質(zhì)一致，說明存在，反之，說明不存在。

例2：（2002，內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市中考題）已知x、x是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，c≠0）的兩個實數(shù)根，且=（m≠0，n≠0）。

（1）試求用m和n表示的式子；

（2）是否存在實數(shù)m和n，滿足=，使=成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，說明理由。

解：（1）由題意，得

x+x=-①

x x=②

由=，得

x=x③

把③分別代入①、②并消去x，得=。

（2）若=成立，設(shè)（m+n）=6k，mn=5k（k＞0），由m+n=±，mn=5k知，若m、n存在，應(yīng)是方程z±z+5k=0的根。

∵△=（±）-20k=-14k＜0，

∴m、n不存在。

評析：通過韋達(dá)定理得a、b、c、m、n的關(guān)系式，然后假設(shè)=成立，作出以m、n為根的一元二次方程，通過判別式討論假設(shè)結(jié)論的存在性。

三、以初、高中知識銜接點為背景設(shè)計的探究性試題

例3：（2008，鹽城市中考試題）對于任意正實數(shù)a、b，∵（-）≥0， ∴a-2+b≥0，

∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。

結(jié)論：在a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2，只有當(dāng)a=b時有最小值2。

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

若m＞0，只有當(dāng)m= 時，m+有最小值 。

思考驗證：如右圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上任意一點（與A、B不重合），過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b。

試根據(jù)圖形驗證a+b≥2，并指出等號成立時的條件。

分析：本題中的不等式a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）雖然是高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但給出證明過程后學(xué)生能完全讀懂。本題考查的是學(xué)生的閱讀解題能力，除此之外，還考查了學(xué)生應(yīng)用新知識解決新問題的能力。

根據(jù)上文，學(xué)生不難得到：若m＞0，只有當(dāng)m=1時，m+有最小值2。

而對于思考驗證，學(xué)生從平面幾何的角度再次探究這個不等式：由圖不難發(fā)現(xiàn)，a+b=AB，=CD，因為CD≤AB，故只有當(dāng)a=b時，等號成立，此時CD圓的半徑，即CD=AB。

點評：學(xué)生解這類問題時應(yīng)認(rèn)真閱讀，仔細(xì)推敲，由“式”“思”“形”善于聯(lián)想。

四、以新定義的概念為背景設(shè)計的探究性試題

例4：（2008，宿遷市中考題）對于任意的兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：當(dāng)a=c，b=d時，有（a，b）=（c，d）；運算“?茚”為：（a，b）?茚（c，d）=（ac，bd）；運算“?茌”為：（a，b）?茌（c，d）=（a+c，b+d）。設(shè)p、q都是實數(shù)，若（1，2）?茚（p，q）=（2，-4），則（1，2）?茌（p，q）= 。

分析：本題給出兩種新定義的運算，學(xué)生只要“按部就班”，就可“修得正果”。

依據(jù)給的運算規(guī)則，先列出方程組：1·p=22q=-4，由此得p=2，q=-2。

于是（1，2）?茌（p，q） = （1，2）?茌（2，-2）=（3，0）。

點評：本題實為新定義下的舊運算。