新課程下的遞推數列教學新論

摘 要： 遞推數列是高中數學中的重要內容，因此在新課程下我們要加強對此的教學。本文作者認為在此教學中必須循序漸進，明確教什么、怎么教、怎么練習是關鍵。

關鍵詞： 遞推數列 教學 通項公式

新課程標準中對遞推數列沒有明確要求，且不同版本的教材對此意見不一致。但是遞推數列是高考常考的內容之一，而且有一定的難度。因此在平時教學中我們必須補上這一課。

1.教什么

遞推數列的教學是在學生學了等差與等比數列的基礎上，對數列作進一步研究的教學，由遞推公式求數列的通項公式主要是等差等比數列的知識和方法的應用。在高中范圍內主要補充以下幾個遞推數列：

a=pa+q（n＞1）（pq≠0，p≠1），

a=pa+kn+b（n＞1）（pk≠0，p≠1），

a=pa+qa（n≥3）（p，q為常數，pq≠0）。

2.怎么教

由遞推公式求數列的通項公式是教學中的重點和難點，教師必須設計好，使問題容易入手，首先讓學生有個感性的認識，然后讓學生體會。筆者認為這樣教的效果較佳。

2.1用證明題指明方向

例1：已知數列{a}中，a=，a=4a+1（n＞1）。求證：（I）數列{a-a}為等比數列；（II）數列a+為等比數列。

證明：（I） ∵a=4a+1（n＞1），∴a=4a+1，∴a-a=4（a-a）（n＞1）。而a-a=4a+1-a=≠0，∴數列{a-a}為等比數列。

（II） ∵a=4a+1（n＞1），∴a+=4（a+）。而a+=≠0，∴數列a+為等比數列。

例2：已知數列{a}中，a=1，a=2a+3n-1（n＞1）。求證：數列{a+3n+5}為等比數列。

證明：∵a=2a+3n-1（n＞1），∴a+3n+5=2［a+3（n-1）+5］，而a+3×1+5=9，∴數列{a+3n+5}為等比數列。

例3：已知數列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n＞2）。求證：數列{a+an}、{a-3a}為等比數列。

證明：∵a=2a+3a（n＞2），∴a+a=3（a+a），而a+a=7≠0，∴{a+a}為等比數列。

同法可證{a-3a}為等比數列。

注：對于證明題，學生目標明確，只要恰當構造所要研究的數列，利用等差或等比數列知識就能使問題得到解決。這個階段使學生有個感性的認識，關鍵是讓學生有個理性的思考方向。

2.2用求解題教會方法

將上面的3個例子如果全部換為求數列{a}的通項公式應當怎么解決呢？若沒有先證的結論問題，學生解決此類問題會有不小的困難，因此教學遞推數列的目的還是要求學生掌握由此求通項公式的方法。現在回到前面研究所要證明的結論，如果能夠解決這個結論產生的根源也就可以了。上面的幾個結論的證明是有目的的構造，這種方法對于問題的解決可能一目了然。但對于復雜的問題我們就要選擇其它的方法了。下面筆者談談處理此問題的兩個比較典型的方法：待定系數法和遞推再現相減法。

（1）a=pa+q（n＞1）（pq≠0，p≠1）型，可轉化為a-a=p（a-a）（n＞1），即數列{a-a}為等比數列；也可轉化為a+c=p（a+c）?圯c=，即數列{a+c}為等比數列。

例4：已知數列{a}中，a=，a=4a+1（n＞1）。求數列{a}的通項公式。

解法1：∵a=4a+1（n＞1），∴a=4a+1，∴a-a=4（a-a）（n＞1）。而a-a=4a+1-a=≠0，∴數列{a-a}是以a-a=為首項，4為公比的等比數列。∴ a-a=×4，再由a=4a+1得a=×4-。

解法2：設a+c=4（a+c），則a=4a+3c，∴c=，而a+=≠0，∴數列a+為等比數列，∴a+=×4，即a=×4-。

（2）a=pa+kn+b（n＞1）（pk≠0，p≠1），可轉化為：a-a=p（a-a）+k（n＞1），由類型（1）處理；也可轉化為：a+cn+d=p［a+c（n-1）+d］?圯c=，d=。

例5：已知數列{a}中，a=1，a=2a+3n-1（n＞1）。求數列{a}的通項公式。

解法1 ：∵a=2a+3n-1（n＞1），∴a=2a+3（n+1）-1，∴a-a=2（a-a）+3，∴a-a+3=2（a-a+3），∴數列{a-a+3}是等比數列，故a-a+3=（a-a+3）2，∴2a+3（n+1）-1-a+3=9·2，即a=9·2-3n-5。

解法2：令a+cn+d=2［a+c（n-1）+d］（n＞1），則a=2a+cn-2c+d=2a+3n-1，∴c=3，d=5，∴a+3n+5=2［a+3（n-1）+5］，而a+3×1+5=9，∴a=9·2-3n-5。

（3）a=pa+qa（n≥3）（p，q為常數，pq≠0）型，可轉化為a-αa=β（a-αa）?圯α+β=pαβ=-q，解方程組求出α和β。即數列{a-αa}、{a-βa}分別以β，α為公比的等比數列。

例6：已知數列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n＞2），求數列{a}的通項公式。

解：令a-αa=β（a-αa）（n＞2），則a=（α+β）a-αβa（n＞2），由α+β=2αβ=-3，得α=-1β=3或 α=3β=-1，∴a+a=3（a+a）或a-3a=-（a-3a）（n＞2），∴a+a=7·3a-3a=-13·（-1），∴a=。

3.結語

“能在具體的問題情境中，發現數列的等差或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題”。這句話說明了新課程要求深入掌握遞推數列。筆者認為以往對遞推數列的教學與考查并沒有“雙基異化”的傾向，相反，遞推數列能夠培養學生的觀察、歸納、猜想等合情推理的能力，更能夠培養學生的計算、邏輯推理能力。因此在新課程教學中我們對此應有所突破，而不能照本宣科。