如何上好“二面角”的習(xí)題課

正確找出“二面角”是學(xué)好“二面角”這節(jié)知識(shí)的關(guān)鍵。

求二面角的常用方法有：

（1）定義法：作棱的垂線：從棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)作棱的垂線，所成夾角即為二面角的平面角。

（2）利用三垂線定理或逆定理：“兩垂線一連結(jié)”。

（3）面積射影公式：cosθ=。

（4）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)半平面的法向量和，則和的夾角或其補(bǔ)角即為二面角的大小。

教師怎樣才能讓學(xué)生掌握上面的幾種方法？我發(fā)現(xiàn)在《成材之路》第76頁有這樣一題：如圖所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求SC與平面ABCD所成的角。

我把此題改編為：求面SBC和面SAB所成的二面角。

此題為無棱二面角，首先找棱。

我提示：要找棱，只要再找到棱上的另一點(diǎn)而延伸平面，實(shí)際是延伸平面內(nèi)的直線。那么延伸兩平面內(nèi)的哪兩條直線才合適？

通過同學(xué)之間的交流，學(xué)生很容易就得到圖1。

圖1

緊接著我提示：大家回憶一下，找二面角的平面角通常有哪些方法？

學(xué)生通過互相交流，馬上說出前文所述的四種方法，然后我說：“我們分四個(gè)小組打一個(gè)擂臺(tái)賽，看哪一組做得又快又準(zhǔn)。”學(xué)生的積極性馬上被調(diào)動(dòng)起來。“投影法”這一小組的學(xué)生最先完成，其次“向量法”小組，再次“三垂線”小組，最后是“定義法”小組（在我的提示下完成）。

四組學(xué)生使用不同方法用的時(shí)間長(zhǎng)短不同。我總結(jié)如下：此題四種常用方法都適用，所以此題不失為求二面角的一道典型題。對(duì)此題我總結(jié)如下：

一、用投影法做此題，大家要注意，做題的時(shí)候一定要對(duì)公式進(jìn)行說明。

二、向量法是我們必須掌握的方法，建系設(shè)點(diǎn)是我們新教材中解決立體幾何難點(diǎn)的重要手法，向量是工具，它能把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算問題，所以我們必須掌握利用向量法解決幾何問題。

三、三垂線法是我們解決立體幾何的幾何方法，它主要考查的是三垂線定理、逆定理的應(yīng)用，也是求二面角的一種重要手段，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力。

四、定義法也是常用的方法，但是要注意：當(dāng)題中給的數(shù)據(jù)比較多時(shí)，我們不妨從小處著眼，看看圖形中邊長(zhǎng)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，觀察它們的特點(diǎn)，進(jìn)而直接在圖形當(dāng)中找到二面角。此題做得最慢的一組學(xué)生為什么沒有做出來，關(guān)鍵是如圖2，圖中的∠SBC本身是直角，但很多學(xué)生證不出來，并且圖中∠CSB就是面SCD和面SAB的二面角，我們只需通過邊的數(shù)據(jù)，證明即可。但是很多學(xué)生都在二面角的棱上找一個(gè)點(diǎn)去作二面角的平面角，這樣就使簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化了。

圖2

通過這節(jié)課我感覺到，要想使學(xué)生學(xué)好幾何，我們首先必須精選題，其次要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，在課堂上充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。教師在課堂上創(chuàng)造平等、民主、寬松的探索氛圍，構(gòu)建師生、學(xué)生互動(dòng)的平臺(tái)，是促進(jìn)問題動(dòng)態(tài)生成的首要條件；讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，提出有價(jià)值的問題，有效地促成問題解決，是搞好校本教研與課堂教學(xué)的關(guān)鍵。在合作交流的過程中，教師要做到既有思維含量，又活而不亂，讓數(shù)學(xué)課堂彌散生命的靈氣和藝術(shù)的芬芳。