中考數學熱點題型：以行程問題為載體的一次函數試題分析

行程類一次函數試題一直受到中考命題者的青睞，是中考數學的熱點題型。這類試題將行程問題蘊涵在一次函數之中，以圖像、表格、文字的組合形式呈現，涉及面廣，靈活性強，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高，重在考查學生的識圖能力和創新意識。傳統的行程類問題以方程應用為主。隨著新課程的實施，近幾年大量地出現了根據圖像信息運用一次函數解決行程問題的試題，充分體現了課程標準的理念。現以2007、2008年中考若干試題為例進行分析。

一、追擊問題

例1.（2008年泰州市中考試卷）2008年5月12日14時28分四川汶川發生里氏8.0級強力地震。某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發點480千米的災區。乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發1.25小時（從甲組出發時開始計時）。圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組所走路程（千米）、（千米）與時間x（小時）之間的函數關系對應的圖像。請根據圖像所提供的信息，解決下列問題：

（1）由于汽車發生故障，甲組在途中停留了小時。

（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區。請問甲組的汽車在排除故障時，距出發點的路程是多少千米？

（3）為了保證及時聯絡，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不過25千米。請通過計算說明，按圖像所表示的走法是否符合約定。

解：（1）1.9。

（2）方法一：設直線EF的解析式為y=kx+b。

∵點E（1.25，0）、點F（7.25，480）均在直線EF上，

∴1.25k+b=07.25k+b=480，解得k=80b=-100。

∴直線EF的解析式是y=80x-100。

∵點C在直線EF上，且點C的橫坐標為6，

∴點C的縱坐標為80×6-100=380，

∴點C的坐標是（6，380）。

設直線BD的解析式為y=mx+n。

∵點C（6，380）、點D（7，480）在直線BD上，

∴6m+n=3807m+n=480，解得m=100n=-220。

∴直線BD的解析式是y=100x-220。

∵點B在直線BD上，且點B的橫坐標為4.9，代入y得B（4.9，270），

∴甲組在排除故障時，距出發點的路程是270千米。

方法二：從圖像可知：乙組6小時行駛了480千米，則乙組1小時行駛80千米，

∴乙組到達點C 4.75小時前進了4.75×80=380千米。

從圖像可知：甲組從點C走到點D，1小時走了480-380=100千米。

∴甲組從B點走到D點，6-4.9=1.1小時應該走110千米，

∴B點距出發點應是380-110=270千米。

即甲組在排除故障時，距出發點的路程是270千米。

（3）符合約定。

由圖像可知：甲、乙兩組第一次相遇后在點B和點D相距最遠。

在點B處有y-y=80×4.9-100-（100×4.9-220）=22千米＜25千米，

在點D有y-y=100×7-220-（80×7-100）=20千米＜25千米，

∴按圖像所表示的走法符合約定。

簡析：1.汽車發生故障時路程不隨時間而變化，因此甲組在途中停留的時間就是x-x。2.方法一，要求甲組的汽車在排除故障時距出發點的路程，從圖中可知，就是要求點A或點B的縱坐標，確定直線OA或直線BD是解決問題題的關鍵。由圖像分析，只能求得直線EF的解析式，由于點C在直線EF上，所以點C的坐標顯然隨之確定，由C、D兩點的坐標利用“待定系數法”可確定直線BD。這是典型的行程問題中數形結合的實例，用“圖像法”求解是“通解通法”，學生容易理解，但計算量較大，顯得比較麻煩。方法二，在讀懂圖像提供信息的基礎上，借助于路程、速度、時間之間的關系，使問題得到巧妙的解決。此法簡潔、迅速。3.由圖可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠；分別在B處求得y-y、在D處求得y-y與25比較，即可判斷甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程是否符合約定。

二、相遇問題

例2.（2007年大連市中考試題）如圖，某探險隊的8名隊員在距營地210千米的地方遇險， 營地負責人接到通知后， 告知探險隊全體人員步行返回營地， 并派出一輛越野車以80千米/時的速度前去營救， 2.5小時后越野車遇到探險隊員， 將其中4名隊員送回營地， 并立即返回接其他隊員， 求越野車第二次接到隊員時與營地的距離（越野車與探險隊員的步行速度均近似為勻速，隊員上、下車的時間忽略不計）。

解：由題意可知：點A表示越野車去接探險隊員與第一次探險隊員相遇，越野車行進2.5小時探險隊前進了80×2.5=200千米，即A的坐標為（2.5，200）。

設直線OA解析式為y=k x，

把點A （2.5，200）代入y=k x，得k=80，

∴直線OA的解析式為y=80x。

設直線FA解析式為y=k x+b，

把點F（0，210）、A（2.5，200）代入y=k x+b，

∴210=b200=k x+b，解得k=-4b=210。

∵越野車速度均近似為勻速，

∴點C的坐標為（5，0）。

設直線BC解析式為y=80x+b，

把點C（5，0）代入y=80x+b，得b=-400，

∴直線BC解析式為y=80x-400。

由題意得y=-4x+210y=80x-400，解得x=y=。

∴越野車第二次接到隊員時與營地的相距千米。

簡析：因為越野車速度均近似為勻速，所以圖中線段BC∥OA，BD∥AC。點A表示越野車去接探險隊員與探險隊員第一次相遇，越野車行進2.5小時探險隊前進了80×2.5=200千米，即A的坐標為（2.5，200），從而確定直線OA的解析式；點C表示越野車返回到營地， 由于越野車速度均近似為勻速，則點C的坐標為（5，0），因此直線BC是過點C且平行于OA 的線段；線段FA與BC兩直線的交點B不難求得，則越野車第二次接到隊員時與營地的距離隨之確定。

例3.（2007年哈爾濱中考試題）甲乙兩名同學進行登山比賽，下圖中表示甲同學和乙同學沿相同線路同時從山腳出發到達山頂的過程中，各自行進的路程隨時間變化的圖像，根據圖像中的有關數據回答下列問題：

（1）分別求出甲乙兩同學登山過程中路程S（km）與時間t（h）的函數解析式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）

（2）當甲到達山頂時，乙行進到山上的某點A處，求A點距山頂的距離；

（3）在（2）的條件下，設乙同學從A處繼續登山，甲同學到達山頂后休息1h，沿原路下山，在點B處與乙相遇，此時點B與山頂距離為1.5km。相遇后甲、乙各自按原來的路線下山和上山，求乙到達山頂時，甲離山腳的距離是多少千米？

解：（1）設甲登山過程中路程S（km）與時間t（h）的函數解析式為s=k t。

由圖像可知，當t=2時，s=6，

∴2k=6，解得k=3。

∴表示甲登山過程的函數解析式為s=3t。

設乙登山過程中路程S（km）與時間t（h）的函數解析式為s=k t。

由圖像可知，當x=3時，s=6，

∴3k=6，解得k=2，

∴表示乙登山過程的函數解析式為s=2t。

把s=12代入s=3t，得t=4，

當t=4時，s=2x=2×4=8。

∴當甲到達山頂時，乙在山上的A處，離山腳的距離是8千米。

（3）∵點B與山頂距離為1.5km，

∴點B與山腳距離為10.5km。

把s=10.5代入s=2x，得x=。

設甲下山過程的線段DF函數解析式為s=k x+b，

把D（5，12），B（，10.5）代入得12=5x+b10.5=+b，解得k=-6b=42。

∴甲下山過程的線段DF函數解析式為s=-6x+42。

把x=6代入s=-6x+42，得s=6，

∴甲離山腳的距離為6千米。

簡析：1.由已知條件可設兩條直線分別為s=k x（k≠0）和s=k x+b（k≠0），然后根據圖像給出的點的坐標，利用“待定系數法”可確定（1）的兩條直線；2.甲到山頂的時間是=4小時，把x=4代入乙的解析式得到A點到山腳的距離，則A到山頂的距離隨之確定；3.由點B到山頂的距離是1.5千米可知B點的縱坐標為10.5，由于B點也在乙的圖像上，則B點的坐標隨之確定，從而求得DF的解析式，乙到達山頂時需6小時，把x=6代入DF的解析式得到乙到達山頂時，甲離山腳的距離。

這類題亦可用相遇和追擊問題中的速度和路程之間的關系求得，但利用圖像法求交點解決這類問題可減少學生學習行程問題應用題的困難，激發學生學習的熱情，培養學生的創新意識。

三、綜合性問題

例4.（2008年南京市中考試題）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數關系。

根據圖像進行以下探究：

信息讀取：

（1）甲、乙兩地之間的距離為km。

（2）請解釋圖中點B的實際意義。

圖像理解：

（3）求慢車和快車的速度。

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

問題解決：

（5）若第二列快車也從甲地出發駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚出發多少小時？

解：（1）900。

（2）圖中點B的實際意義是：當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇。

（3）由圖像可知，慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為=75（km/h）；當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為=225（km/h），所以快車的速度為150km/h。

（4）根據題意，快車行駛900km到達乙地，所以快車行駛=6（h）到達乙地，此時兩車之間的距離為2×225=450（km），所以點C的坐標為（6，450）。

設線段BC所表示的y與x之間的函數關系式為y=kx+b，

把（4，0），（6，450）代入y=kx+b，得0=4k+b450=6k+b，解之得k=225b=-900。

所以線段BC所表示的y與x之間的函數關系式為y=225x-900（4≤x≤6）。

（5）方法一：當第二列快車與慢車相遇時，兩快車間的距離就是第一列快車與慢車相遇后30分鐘時兩車之間的距離×225km，所以當第一列快車行駛×225km時第二列快車就開始行駛，第二列快車比第一列快車晚出發時間==0.75(h)，即第二列快車比第一列快車晚出發0.75h。

方法二：慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h。

把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5。

∴慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發的間隔時間=112.5÷150=0.75（h），即第二列快車比第一列快車晚出發0.75h。

方法三：第二列快車沒有行駛時，慢車與第二列快車之間的路程與時間之間的關系為：y=900-75x；

設第二列快車行駛后，第二列快車與慢車之間的路程與時間之間的關系：y=-225x+b，

把點E（4，0）代入y=-225x+b，得b=，

∴第二列快車與慢車之間的路程與時間之間的關系為y=-225x+。

由題意得y=900-75xy=-225x+，解之得x=y=-。

即第二列快車比第一列快車晚出發h。

簡析：1.A表示兩車沒有行駛，900km就是甲、乙兩地之間的距離。2.B點的縱坐標為0，表示慢車行駛4h時慢車和快車相遇。3.由圖像可知，慢車12h行駛的路程為900km，慢車的速度顯然可求；慢車行駛4h時，慢車和快車行駛4h的路程為900km，所以可求得慢車和快車行駛的速度之和，從而求得快車的速度。4.點C表示快車已經行完了900km到達乙地，顯然x=6；當兩車相背行駛2h時兩車相距為2×兩車的速度之和，即求得y；由B、C兩點的坐標從而確定直線BC的解析式。5.方法一：第二列快車行駛后兩列快車間的距離保持不變，當第二列快車與慢車相遇時，兩快車間的距離就是第一列快車與慢車相遇后30分鐘時兩車之間的距離×225km，所以當第一列快車行駛×225km時第二列快車就開始行駛，顯然第二列快車比第一列快車晚出發時間就可以求得；方法二：對于方法一中兩快車間的距離也相當于第一列快車與慢車行駛4小時30分鐘時兩車之間的距離，把x=4代入直線BC的解析式即可；方法三：（圖像法）如圖，由于第二例快車沒有行駛，慢車與第二列快車之間的路程與時間之間的函數關系實質就是慢車距甲地的路程與時間之間的函數關系式，即線段y=900-75x；由于第二列快車與第一列快車速度相同，故直線PE的斜率k=-225，所以第二列快車與慢車之間的路程與時間之間的關系：y=-225x+b，把相遇點E（4，0）代入得b；直線AP、PE的交點P的橫坐標就是第二列快車比第一列快車晚出發的時間。

以行程問題為載體的中考一次函數型試題，可以用“圖像法”求解，也可以在閱讀理解的基礎上，聯想相遇、追擊的行程問題中路程、速度、時間之間的關系，用算術方法巧妙地解決問題，有時須兩種方法結合進行綜合分析。雖然行程類問題是學生再熟悉不過的一個問題背景，看上去很容易，但形式靈活，且有時條件隱含，學生往往感到難以把握。因此，理解題意、讀懂圖像、動靜分析、數形結合是解決此類問題的有效途徑。