復雜樣本的方差估計

一、引言

對復雜樣本按照理論直接推導出方差估計一則十分困難，二則從節約費用和時間的角度考慮代價也很大。通常采用的替代方法主要有隨機組法、平衡半樣本方法、刀切法和自助法等。本文研究采用基于逆抽樣設計的方法對復雜樣本進行方差估計，并將該方法與傳統方法進行比較，探討其適用條件。

二、逆抽樣設計方法簡介

逆抽樣設計(Inverse Sampling Design，簡稱ISD方法)的思想由Hinkins等提出，Rao等研究了該方法的一些理論性質。該方法的基本思想是，通過選擇一個抽樣機制，對調查得到的復雜樣本進行二次抽樣。二次抽樣機制的設計抵消了初始復雜樣本中的分層、整群抽樣等效應，使得按照該抽樣機制抽選出來的子樣本具有簡單隨機樣本結構，后續分析基于這些具有簡單隨機樣本結構的子樣本進行。下圖為該方法的流程示意圖:

用數學符號來表示，假設進行某項調查，按照某種復雜抽樣設計從一有限總體中抽出了一個大小為n的初始樣本Sp，其中下標p(primary)表示初始樣本。現希望從Sp中抽出一個大小為n'的子樣本s'，使得s'被抽中的無條件概率p(s')和簡單隨機抽樣匹配，也即

由于抽取子樣本s'是一個兩步的過程，由全概率公式，有

其中，p(sp)為初始樣本sp被抽中的概率，為sp已被抽選出來的前提下，s'被抽中的條件概率。

如果不依賴于sp，則由(1)式，有

(2)式即為從初始樣本sp中選擇s'的抽樣機制。

逆抽樣設計方法包括了如下基本的三個步驟:

(1)逆掉初始樣本的復雜抽樣設計，使得能夠產生具有簡單隨機樣本結構的子樣本;