噴泉水流控制模型

摘要: 本文運用物理學(xué)規(guī)律，以噴泉水流中的小水滴為模型來分析噴泉噴水速度、噴射最大水平距離和噴射高度之間的呃相互關(guān)系以及影響這些量的因素，從而實現(xiàn)對噴射高度和噴射最大水平距離的適當(dāng)控制，達到行人能夠看到賞心悅目的景象與被水淋濕之間可以接受的平衡。

關(guān)鍵詞: 空氣阻力系數(shù);直流式噴頭;matlab;曲線擬合

1.問題重述

在一個樓群環(huán)繞的寬闊的露天廣場上，裝飾噴泉把水噴向高空。刮風(fēng)的日子，風(fēng)把水花從噴泉吹向過路行人。噴泉射出的水流受到一個與風(fēng)速計(用于測量風(fēng)的速度和方向)相連的機械裝置控制，前者安裝在一幢鄰近樓房的頂上。這個控制的實際目標，是要為行人在賞心悅目的景象和淋水浸濕之間提供可以接受的平衡:風(fēng)刮得越猛，水量和噴射高度就越低，從而較少的水花落在水池范圍以外。

現(xiàn)設(shè)計一個算法，隨著風(fēng)力條件的變化，運用風(fēng)速計給出的數(shù)據(jù)來調(diào)整由噴泉射出的水流。空氣阻力的計算公式為f=krv (k為空氣阻力系數(shù)，r為水滴半徑，v為水滴的速度，見參考文獻【1】)。

2.問題分析

題目的關(guān)鍵就是要求噴出噴頭的水流所能達到的最遠距離與噴出水流的初速度及所測得的風(fēng)速和風(fēng)向之間的關(guān)系。因此，需要確定水珠為研究對象，分析水珠的運動情況。在空氣中運動的小水珠，假定其形狀為球形，它在空氣中受到重力mg 、空氣阻力和風(fēng)的作用力作用(m為小水珠質(zhì)量，g為重力加速度)，這樣，就可以建立力學(xué)模型來求解。查詢資料可知:小水珠所受到的空氣阻力與小水珠半徑及其運動速度成正比，即:，為空氣阻力系數(shù)，r為小水珠半徑，v為小水珠速度(參考文獻【1】【2】)

3.模型建立與求解

以豎直向上為z軸正方向，考慮一個噴頭噴出的水流，設(shè)水流在水平面內(nèi)投影為x軸，水平面內(nèi)與x軸垂直的方向定為y軸(x軸、y軸、z軸構(gòu)成右手系)

設(shè)噴頭方向與x軸方向成角為β，則與z軸成角為β，記水流初速度為，則它在x軸β、

z軸分量β (1)

3.1 z軸方向的分析

在z軸方向上，水滴上升時受到兩個力的作用:重力和空氣阻力(如右圖)，則:

(為水珠在z軸方向上的瞬時速度)

從而可以求出:

對t積分，得到水珠在z軸方向的位移(3)

當(dāng)=0時，水珠位于最高點，h=H 記此時時間為

則帶入上式，可得:

同理可求得:下降時，

當(dāng)小水珠落地時，水珠下降過程位移，從而得到:

水珠從噴射出去到落地所經(jīng)歷時間滿足:

3.2 在水平方向上的分析(以x軸為例)

在x軸方向，小水珠只受一個風(fēng)的作用力作用，用微元法分析:

設(shè)風(fēng)速與x軸正方向成角為θ，取時間微元，空氣密度記為ρ1，記所測當(dāng)?shù)仫L(fēng)速為，風(fēng)速在x軸方向上的分量=θ，時間內(nèi)作用在水珠上的空氣柱體積(其截面積為)，其質(zhì)量(6)

假設(shè)空氣與水碰撞后動量可忽略不計，則風(fēng)作用在水珠前后，二者總動量守恒定理:

其中是高為h處的風(fēng)作用在水珠上使得水珠速度發(fā)生的變化

由(6)(7)知:

將(2)(4)分別帶入上式，對兩邊積分有:

t時刻，水珠速度的x軸方向分量

為水流從噴嘴中噴出時的速度在x軸方向的分量

對t積分即得水流沿x軸方向噴射的距離

水流在Y軸方向偏移量也可同理求得，為

，這樣，

水流噴射出去的距離

為了滿足行人得到較好的觀賞效果，要使得H盡可能的大;要使得行人淋到的水較少，需要使得這里淋到水池以外的水較少，這里設(shè)定L不得大于。這樣，只需要求得L的最大值即可，而對于圓周行的噴泉來說，在與風(fēng)向同向的方向上的水流的L是最大的，即此時=0，=

這樣，我們就可以建立線性規(guī)劃模型在測得的風(fēng)速給定的情況下，解出使得H最大同時使得上述限制條件得到滿足的，然后再用曲線擬合的思想求出隨變化的函數(shù)關(guān)系式，從而達到控制水流的目標。

3.3建立非線性規(guī)劃模型

由以上分析，很容易建立如下的線性規(guī)劃模型:

(目標函數(shù))

(關(guān)于水流最遠距離的約束)

上述為水流由噴出到落地的總時間，由(5)式給出，即:

其他參數(shù)及常量說明:，小水珠質(zhì)量

為小水珠半徑，

為水的密度

為空氣阻力系數(shù)，由文獻【2】知其數(shù)值約為

為水射出時的初速度，是決策變量β為噴嘴方向與水平方向夾角

為引力常量，R為噴水池半徑，是一個待定參數(shù)

為測得的當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)速，是待測定的量

3.4取定待測參數(shù)值，求解上述規(guī)劃問題

取β R=8.0m查詢資料(文獻【3】)知:噴泉噴嘴噴出的水流中水珠的直徑與噴嘴形狀有關(guān)，如下表:

這里，設(shè)噴頭形式為直流式，則可取

然后依次取合理的風(fēng)速值(即)，用lingo軟件求解上述規(guī)劃模型，并記下最優(yōu)解時的值，如下表:

用matlab對上述所求、的值做多項式擬合即可得到隨變化的近似關(guān)系，如對這里的數(shù)據(jù)進行五次多項式擬合得到:

4.模型評價

本文在對噴水池噴水原理進行分析的基礎(chǔ)上，利用動量定理解決了風(fēng)速與風(fēng)力的轉(zhuǎn)變問題，分段考慮水滴上升與下降的不同情況，用積分處理了不同高度不同風(fēng)速的問題，從而得到了最終求最大噴射高度為目標函數(shù)的線性規(guī)劃模型。模型在內(nèi)容上包含了噴泉噴射過程中的各個特點，得到的結(jié)果與實際露天廣場上裝飾噴泉情況相近;并且因為模型是建立在一個抽象的噴水池噴水上，因而適用于現(xiàn)實中的多種抽象問題中。

參考文獻:

[1]譚金川，下落雨滴的終極速度漫議，物理教師，第25卷第1期:6-8頁，2004年;

[2]孫大君，雨滴下落問題芻議，物理教師，第19卷第3期:22-23頁，1998年;

[3]作者不詳，水景及游泳池給水系統(tǒng)，http://222.66.109.20/jpke/gny/subject/

images/kjdb.ppt，2008年 8月 25日。