拋物面梯度可視化研究

劉小羊， 林大鈞， 鄭鵬飛， 吳志庭

（華東理工大學機械與動力工程學院，上海 200237）

工程中，有關數量場各點的溫度和壓力變化趨勢可以歸結為求解各點處的梯度。梯度與方向導數以及數量場等值面之間存在一種比較理想的關系，這就使得梯度成為研究數量場時的一個重要概念。曲面梯度的求解一般是通過求曲面函數的偏導數得到的，其結果比較抽象。本文利用畫法幾何原理，用作圖方式求解曲面梯度，再通過計算機編程實現梯度的圖形顯示，使抽象問題形象化，對處理相關工程數量場的優化問題具有重要的意義。

1 拋物面梯度的數學表達

2 拋物面梯度的圖解[1]

可知：曲面上某點的梯度是該點的切平面上H 面最大斜度線對H 面傾角的正切而其最大斜度線的水平投影即為梯度方向。

2.1 拋物面上一點處切平面的幾何作圖[2]

圖1 正平面截切拋物面

2.2 梯度求解

根據梯度的圖解原理知道它是最大斜度線對H面傾角的正切。求解曲面上某點梯度需求出該點切平面對H面的最大斜度線。因切平面對H面的最大斜度線垂直于該面內水平線。按照這個 定義可以作出旋轉拋物面上 Pa( xa， ya， za)點處的切平面的最大斜度線，如圖2所示。

先作水平線Q1M。過作m ′平行于x軸，根據已知條件求得m′點x，z坐標為。 利用畫法幾何原理作圖得到M點的H面投影m。它的y坐標可以根據其所在的切平面的方程求出。拋物面在Pa點處切平面的法向量為，利用點法式求出其切平面方程為，將ax ，代入求得 y 坐 標， 得 到 點。

可見圖解方法和用數學方法得到的結果相同。而圖形求解過程更具直觀性。

圖2 旋轉拋物面梯度圖解

3 梯度可視化程序的實現[3]

圖 3 橢圓拋物面梯度圖解

圖 4 雙曲拋物面梯度圖解

圖 5 程序流程圖

圖 6 程序界面

當p=q=2，輸入旋轉拋物面上的點(2, 2, 4)，得到它們的梯度，如圖7所示。同理，雙曲拋物面梯度顯示如圖8所示。

4 應用舉例[4-5]

圖 7 旋轉拋物面梯度

圖 8 雙曲拋物面梯度

圖 9 橢圓拋物面梯度

5 結論與展望

綜上所述，通過形、數、計算機三者的結合，不僅使梯度的求解變得形象化，而且能夠迅速準確地解決工程數量場的一些問題。本文僅研究了拋物面這類曲面的梯度圖解，對自由曲面梯度的圖解有待進一步研究。

參考文獻

[1] 林大鈞. 平面場的梯度圖解方法與應用[J]. 華東理工大學學報, 1998, 24(1)： 87-91.

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