基于OpenGL 的相貫線切割軌跡的建模與仿真

趙 龍 ， 郭艷玲

（1.農業部漁業裝備與工程重點開放實驗室，上海 200092； 2. 中國水產科學研究院漁業機械儀器研究所，上海 200092； 3. 東北林業大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040）

在建筑、機械、石油、化工等領域經常會遇到大量管類零件之間相互拼接的情況，如壓力容器的生產、建筑用桁架以及海洋平臺加工制造過程中經常遇到的肘管等[1]。在這種情況下，相貫線切割機成為了科技人員研究的主要對象，而在相貫線切割機的研究過程中，對于相貫線軌跡的研究則成為其研究的前提和重點。

目前在相貫孔加工過程中仍然有許多工廠采用先放樣制作樣板，再繪制相貫線進行手工切割，最后用人工打磨的工藝方法對鋼管實施加 工[2]。這種方法的缺點是工作強度大，效率低，難以保證切割后焊接的性能與質量。針對這一問題，通過可視化編程來實現具有變角度坡口切割軌跡的仿真顯得十分必要。

1 相貫線數學模型的建立

為了展開對相貫線軌跡的研究，建立一個行之有效的數學模型至關重要。如圖1 所示，已知兩圓管偏心傾斜相交，傾斜角為θ，偏心距為e，R 和r 分別表示主管和支管的半徑，其中R＞r。

圖1 相貫線數學模型

由于圓管本身存在一定的對稱性，因此從這一思路出發，可以通過極坐標來描述相貫線方 程[3]。于是，從x 或x1正方向看，相貫線在空間中的方程（即相貫線上任意一點M 的方程）可以表示為

其中 φ為支管上節點M 的圓周角，范圍為0°～360°。

根據空間解析幾何學可知[4]，Oxyz 坐標系與Ox1y1z1坐標系之間存在以下變換關系

于是聯立方程（1）、（2），可以得出兩圓柱相貫線上各個節點的參數方程為

2 接頭類型及坡口角度的研究

2.1 相貫接頭的類型

鋼管在各種工程領域中的應用十分廣泛，由于不同領域對鋼管的要求有所不同，因此存在著多種形式和規格的相貫接頭。一般來說，鋼管在使用過程中主要承受載荷和內壓。對于前者而言，主管不需要開孔，支管采用騎座式的相貫接頭，俗稱馬鞍形相貫接頭，其中支管內壁和主管外壁相貫；而對于后者而言，通常采用插入式相貫接頭，需要在主管上切割出焊接坡口，如圖2所示。

圖2 接頭類型示意圖

2.2 坡口角度的比較和分析

管子在切割時，為了保證焊接的質量和可靠性，需要預留出一定角度的坡口，有定角度坡口和變角度坡口之分。所謂定角度坡口指的就是在切割過程中，支管上各個相貫節點處的素線與支管軸線始終保持一定數值的角度。然而實踐證明，定角度坡口僅僅適用于兩管垂直對心相交或者是各個節點處的二面角都比較大的情況。因為，二面角比較大，切割出來的坡口則可能過小；而二面角比較小，切割出來的坡口則可能過大。這樣就會大大影響切割后焊接的質量和可靠性，同時對于壁厚不大的鋼管來說，在切割時甚至會熔斷部分坡口，導致焊接無法正常進行。所謂變角度坡口指的是在整個切割過程中，各個節點處的切割角（當相貫接頭為插入式時，切割角等于坡口角）始終隨著二面角的變化而變化，這樣切割出的坡口既均勻又可靠。當然，無論是定角度坡口還是變角度坡口，都應該盡量避免極限切割，因為在這一切割過程中，局部節點處的坡口角變化劇烈，切割后會大大降低焊接的質量和穩定性。

2.3 坡口角度的計算

在研究完相貫線以后，為了進一步研究切割時的運動規律，還需要對切割過程中的坡口進行相應的研究。由于在研究坡口時，必須先確定鋼管相貫接頭的空間幾何關系，因此需要對有關參考平面和空間幾何角度加以定義。以騎座式相貫接頭為例，針對管端切割給出了相關參數的具體定義，如圖3 所示。

（1） 主管軸剖面Pm

相貫線上任選點的主管軸剖面，是通過該點并包含主管軸線的平面。

（2） 支管軸剖面Pb

相貫線上任選點的支管軸剖面，是通過該點并包含支管軸線的平面。

（3） 主切面Qm

相貫線上任選點的主切面是過該點并切于主管表面的平面。

（4） 支切面Qb

相貫線上任選點的支切面是過該點并切于支管內表面的平面(注：考慮到繪圖效果，在表達Qb時可能會引起誤解，望請讀者見諒)。

（5） 法剖面Pf及其方向向量nf

相貫線上任選點的法剖面是過該點并垂直于兩軸剖面的平面，方向向量nf通過點M 且垂直于法剖面Pf。

（6） 法向量nm、nb和坡口向量np

法向量nm、nb分別為過點M 且垂直于切平面Qm、Qb的向量，坡口向量np指定了切割時割炬所在的位置方向。

（7） 二面角Ф

二面角Ф 是主切面Qm和支切面Qb在法剖面內且位于支管外部的夾角。

（8） 坡口角? 以及理論切割角ω

對于管端切割來說，坡口角? 指的是坡口向量np與主切面Qm之間的夾角，而理論切割角ω則是坡口向量np與支切面Qb之間的夾角；對于主管開孔來說，坡口角? 指的是坡口向量np與支切面Qb之間的夾角，而理論切割角ω 則是坡口向量np與主切面Qm之間的夾角。二者的大小取決于二面角Ф 的大小。

根據美國石油協會標準規定，當二面角Ф≥90°時，坡口角?=45°；當二面角Ф＜90°時，坡口角?=Ф/2。

為求解坡口角? ，必須首先計算出向量nm(am, bm, cm)和nb(ab, bb, cb)之間的夾角θ。由線性代數學[5]可知，θ 滿足如下方程

根據互補原理，通過夾角θ 可以求出二面角Ф 的大小，進而可以求出點M 處的坡口角? 和理論切割角ω。如圖3 所示，二者滿足

圖3 相貫體空間幾何關系

其次，還需要計算割炬在運動過程中的實際切割角ρ，即割炬在旋轉平面內的傾斜角。如圖4，它在數值上滿足

圖4 二面角、實際切割角和坡口角之間的關系

再次，為了進行計算機仿真，還需要確定坡口向量np的大小。由于坡口向量的計算有賴于向量nm、np之間的夾角α 和向量nb、np之間的夾角β 的大小，因此需要對二者展開計算。

圖5 給出了坡口向量求解過程中各個夾角之間的關系，該關系滿足

圖5 向量夾角示意圖

這樣，在求出向量nm、nb的向量積nf(af,bf,cf)以后就可以通過夾角α 和β 以及向量np、nf相互垂直等條件推導出如下方程

通過上述方程求出坡口向量np(ap, bp, cp)后，就可以通過點M 處的坐標計算出過點M 且方向向量為np的直線方程從而求出主管外表面上對應的坡口節點，為坡口軌跡的仿真創造了重要前提。

3 軌跡的仿真

在仿真過程中，需要在VC++所提供的開發環境下借助于開放式圖形語言OpenGL 和相應數學模型來完成仿真程序的編寫。

3.1 OpenGL 渲染機制

了解OpenGL 渲染機制是利用OpenGL 實現具體仿真的重要前提。大多數OpenGL 實現都使用相似的操作順序，這些處理步驟被稱為OpenGL 渲染流水線[6]。當應用程序對OpenGL所提供的API 函數進行調用時，這些命令被放置在一個命令緩沖區中，為了避免只有當緩沖區滿時才去對所有的繪圖命令、頂點數據和紋理數據進行處理，需要調用glFinish()來強制完成對相應場景的渲染。

3.2 仿真算法的研究以及坡口軌跡的仿真

兩管之間的位置關系確定以后，需要在主管上體現出具有真實感的坡口。與CSG 造型方法不同的是，OpenGL 并不是通過基本體素以及施加在其上的幾何變換、布爾運算和局部修改等方法來構造空間實體的，而是通過自身所提供的點、線、面等一些基本圖元按照一定的方式和順序進行排列和組合從而完成三維實體的構造。雖然CSG 在構造三維實體時簡單易用，靈活多變，但是由于這種構造方式建立在充分利用圖形硬件的深度緩存和模板緩存的機理之上，在整個渲染過程中，并沒有對CSG 模型的幾何邊界進行有效的計算，因此無法通過CSG 造型的方式來獲取相貫線坡口上的每一個節點的數據。而OpenGL 恰恰相反，它是利用預先生成的一系列數據點通過不同方式的組合來構造所需的實體。這樣不僅保證了所需模型的準確構造，而且還可以通過這些數據點實現相貫線軌跡的仿真加工。

為了進行相貫線仿真算法的研究，這里以支管外壁與主管內壁之間的相貫線為研究對象，如圖6 所示。

圖6 內相貫線邊界劃分圖

其中左邊界、左內邊界、右邊界和右內邊界全部分布在主管內壁所在的圓周上。從左邊界和左內邊界開始，順次在兩條邊界上對應取點，每隔兩對節點就可以形成一個四邊形，于是在這兩條邊界上就充滿了一組空間四邊形，通過向glBegin()函數傳遞參數QL_QUAD_STRIP 的方式來指定特定的填充圖元完成對這些四邊形的渲染，從而形成一個均勻的四邊形空間曲面片。該曲面只是位于主管內壁圓周上的一部分，為了繪制一個完整的圓周還需要對主管上余下的柱面進行繪制。如圖6 所示，設最前點M1的坐標為(x1, y1, z1)，最后點M2的坐標為(x2, y2, z2)，于是生成的曲面在主管內壁上跨越的圓周角θ 滿足下列關系式

因此，剩余邊界上的任意一點M(x,y,z)滿足方程

其中 R 為主管內壁圓周半徑，任意一點M 上的z 坐標分別與左右邊界上的z 值相同，圓周角r的范圍為β～(360－α)。

為了構造相應的坡口曲面，需要從分別位于主管內外壁上的內邊界開始順次取點，然后進行相應的渲染從而完成坡口曲面的繪制。

3.3 坡口軌跡的仿真

基于以上對仿真算法的研究，編程實現其功能后生成的坡口模型如圖7 所示。

圖7 多管相貫孔線框模型

如上節所述，此時看到的還是一個不完整的模型，它由線框和空間曲面組成。為了表達一個完整的三維模型，還需要增加一些輔助的表面，如位于主管兩端的環形表面、主管的內外圓柱面、以及陣列孔之間的柱面等。同時，由于在OpenGL 中為了生成具有真實感的三維模型，還需要對建立的模型進行特殊的光照處理。因此，在通過數學模型創建一系列數據點并依靠這些數據點去構造某種圖元時，需要為每一個頂點數據指定法向并為相應圖元指定具體的明暗處理。相關代碼如下：

運行程序，分別選擇菜單 View 下的Intersection Show 和Groove Show 以顯示沒有坡口的相貫線孔和帶有坡口的相貫線孔，如圖8 所示。

圖8 仿真效果圖

4 結 束 語

本文從鋼管切割過程中的實際問題出發，緊緊圍繞切割時如何預留出一定角度的坡口這一問題，比較和分析了定角度坡口和變角度坡口的適用條件及特點，建立了相貫線的一般數學模型，并參照美國石油協會標準給出了任意節點處的坡口角度的計算方法，最后利用 VC++和OpenGL 等語言完成了程序的編寫，實現了具有變角度坡口軌跡的仿真。結果證明：仿真算法切實可行，仿真出來的坡口完全符合美國石油協會規范中的要求。

[1] 肖會軍, 黃 健. 一種復雜圓柱相貫線的數控切割原理[J]. 機床與液壓, 2003, (4)： 254.

[2] 王國棟, 閻祥安, 等. 管端相貫線坡口切割割炬位姿控制[J]. 天津大學學報, 2005, 38(8)： 684.

[3] John M Stockie. The geometry of intersecting tubes applied to controlling a robotic welding torch [J]. Mapel Tech, 1998, 19(2)： 2.

[4] 朱鼎勛. 空間解析幾何學[M]. 武漢： 武漢大學出版社, 2006. 195.

[5] 鄭寶東. 線性代數與空間解析幾何[M]. 北京： 高等教育出版社, 2001. 74.

[6] [美]Richard S Wright, Jr Micheal Sweet. OpenGL 超級寶典[M]. 徐波譯. 北京： 人民郵電出版社, 2005. 24.