基于極坐標測量的圓度誤差評定算法

雷賢卿， 李濟順， 薛玉君， 暢為航

（河南科技大學，河南 洛陽 471003）

隨著計算機技術、自動控制技術、傳感器技術、激光技術等在精密加工領域中廣泛應用，精密和超精密加工技術得到了極大的發展，與之相適應的精密測量技術已成為保證產品質量的關鍵技術之一，致使尋求和設計新的幾何量測量方法及形狀誤差評定算法成為精密測量技術的研究熱點。

圓度誤差是指在垂直于被測圓柱體軸線截面上的圓輪廓對其理想圓的變動量，是機械零件精度及裝配質量的重要指標，在評定機械零件產品質量中有著重要的作用。圓度誤差評定算法一直是國內學者的研究焦點，常采用迭代法、單純形法、遺傳算法等優化算法評定圓度誤差[1-10]，這些優化算法在對圓心和步長的確定時存在一定難度，而且算法較復雜。本文根據圓度誤差的定義，提出一種基于極坐標測量數據的圓度誤差網格搜索算法，該算法可得到最大內切圓法、最小外接圓法和最小區域法的圓度誤差值。

1 算法原理

2 算法步驟

（1） 用最小二乘法計算出被測圓輪廓的最 小二乘圓心極坐標1( , )O ε α 及最小二乘圓度誤差f（圓度誤差的最小二乘法，在許多文獻里已 有詳細介紹，限于篇幅，本文省略）。

（2） 構造網格點。如圖1 所示，以點O1(ε ,α )為圓心、以f 為半徑構造一圓形區域，將此圓的半徑m 等分并畫出一系列同心圓，將圓周n 等分，等分點與1( , )O ε α 的連線與一系列同心圓的m n× 個交點即為構造的網格點。網格點Oij( sij, γij)在極坐標系的坐標為

圖1 極坐標網格搜索原理

（3） 以網格點 Oij(sij,γij)為圓心，按式（2）計算所有測點 Pk(ρk,θk)的半徑值 Rijk并找出此時的最大半徑 Rijmax、最小半徑 Rijmin及半徑極差ΔRij。有m × n個網格點就可得到m × n個最大半徑、最小半徑和半徑的極差值。

（4） 比較m n× 個最大半徑值，其最小者為最小外接圓的半徑，用符號outR 表示；此對應網格點即為最小外接圓圓心，用 Ow( sw, γw)表示；與此圓圓心相對應的最小半徑用符號 rout表示。則最小外接圓法圓度誤差值 fout為

（5） 比較m × n個最小半徑值，其最大者為最大內接圓的半徑，用符號 rin表示，此對應的網格點即為最大內接圓圓心，用 Oc( sc, γc)表示；與此圓圓心相對應的最大半徑，用符號 Rin表示。則最大內接圓法圓度誤差值 fin為

（6） 比較m × n個半徑極差值，其最小者為包容被測點的兩同心圓的最小區域，與此半徑對應的網格點即為最小區域圓圓心，用 Oz( sz, γz)表示。則最小區域法圓度誤差值為 fz

從以上搜索過程可以看出：該算法求出的圓度誤差與理想值之間的接近程度與等分數m、n 有關，等分數越大，計算結果接近理想值的程度越高。

為提高評定精度，可在步驟（2）增加等分點數或者以第一次的計算結果 fz為半徑，以Oz( sz, γz)為參考點，布置間隔更小的網格，重復步驟（2）～步驟（6）；當半徑極差的最小值（記為 Rmin）與半徑極差的次最小值（記為CRmin）非常接近（如小于最小二乘圓度誤差的 1%）時，可以認為此時的最小區域法圓度誤差值已十分接近符合最小條件圓度誤差的真值，此時的最小半徑差就是最小區域法圓度誤差。

該算法的程序流程圖如圖2 所示。

圖2 極坐標網格搜索流程圖

3 實驗驗證

（1） 三坐標圓度測量

在三坐標測量機（Brown Sharpe, Global Status574，數據采集與處理系統：pc-DMIS）上，測量基本尺寸為 Φ 80 × 35的軸承套圈的圓度誤差。從pc-DMIS系統中提取測樣點的極坐標如表1所示，數據處理結果如表2所示，依據測量點的坐標表1及表2中四種評定方法的圓心坐標，計算出的圓度誤差值如表3所示。

表1 測樣點的坐標

表2 數據處理結果

表3 計算出的圓度誤差值(mm)

（2） 圓度誤差的網格搜索評定

用本文提出的極坐標網格搜索算法，以表2中最小二乘圓心坐標為參考，以表3 中最小二乘法圓度誤差0.0265mm 為半徑設置圓形區域，對表1 的測量數據進行處理，得到三種評定方法的圓心坐標及圓度誤差值如表4 所示。

表4 計算出的圓心坐標及圓度誤差(mm)

（3） 實驗結果分析

三坐標測量機（Brown Sharpe, Global Status574，數據采集與處理系統：pc-DMIS）是公認的高精密測量設備，其數據處理系統中的圓度誤差評定結果具有權威性。

對比表4 與表3 的圓度誤差數值可以看出，同一種評定方法中，采用極坐標網格搜索算法得到的圓度誤差值與三坐標測量機上得到的數值是一致的；比較表4 和表2 中的圓心坐標可以看出，同一種評定方法中，采用網格搜索算法得到的圓心坐標與三坐標測量機上的數值也是一致的。說明網格搜索算法是可以實現形狀誤差的精確評定的。

4 結 論

（1） 本文提出的極坐標網格搜索算法，只需計算一次即可得到最大內切圓法、最小外接圓法和最小區域法的圓度誤差，可實現圓度誤差極坐標測量數據的精確處理。

（2） 使用本算法進行圓度誤差評定時，采樣點分布是否均勻不受限制，也無需滿足所謂的小誤差和小偏差假設。只需重復調用點與點之間的距離公式即可實現圓度誤差的精確評定，其評定精度與網格點數的多少有關，劃分的點數越多，精度越高。

（3） 該算法具有通用性和較好的實用性，便于計算機編程，可在實際工程中應用其它形位誤差的評定。

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