乘法公式與名畫《難題》

俄國(guó)畫家波路丹洛夫·別列斯基的名畫《難題》展示了一群學(xué)生圍著黑板上的難題(■=?)各自思考時(shí)不同的神態(tài).這道題也出現(xiàn)在了蘇科版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第59頁(yè)中，數(shù)學(xué)興趣小組的組長(zhǎng)小明決定“老題新做”，把它作為今天活動(dòng)的第一題.

小芳首先打破了沉默:“這道題若先算平方，再求和，然后做除法，挺麻煩的.有簡(jiǎn)便方法嗎?”

“數(shù)學(xué)通”小亮見識(shí)廣、思路寬，他胸有成竹地說(shuō):“解本題易如反掌，因?yàn)轭}中隱藏著五個(gè)連續(xù)自然數(shù)平方的某種關(guān)系.”他在黑板上寫出:

102+112+122=132+142.

他接著說(shuō):“由于102+112+122易用口算得出結(jié)果為100+121+144=365，因而名畫《難題》的答案等于2不就一目了然了嗎?!”

看到這道“難題”的巧妙解答，組長(zhǎng)小明高興地說(shuō):“這次活動(dòng)的主題是尋求連續(xù)自然數(shù)的等冪和等式.我們現(xiàn)在已經(jīng)知道的就有兩個(gè)等式:32+42=52，102

+112+122=132+142.請(qǐng)大家觀察一下，它們有什么規(guī)律呢?”

小嚴(yán)善于觀察，他說(shuō):“第一個(gè)等式:32+42=52，式中連續(xù)自然數(shù)是左邊兩個(gè)，右邊一個(gè)，左邊比右邊多一個(gè).”

未等小嚴(yán)說(shuō)完，性急的小婷便急忙說(shuō)道:“第二個(gè)等式:102+112+122=132+142，式中連續(xù)自然數(shù)是左邊三個(gè)，右邊兩個(gè)，也是左邊比右邊多一個(gè).我大膽猜想，若有第三個(gè)等式，應(yīng)該是左邊四個(gè)，右邊三個(gè)了.可如何尋找出這個(gè)等式呢?”

一聲不響的小娜突然說(shuō):“老師講過(guò)，奇數(shù)個(gè)連續(xù)整數(shù)問(wèn)題，往往設(shè)中間的數(shù)為x.”接著她依照小婷的猜想在黑板上寫了下面的等式:

(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2.

她接著說(shuō):“這個(gè)方程我們可以用剛學(xué)過(guò)的完全平方公式來(lái)化簡(jiǎn)，其結(jié)果為x2=24x，顯然x=0或x=24.

當(dāng)x=0時(shí)，32+22+12+0=12+22+32是個(gè)恒等式.

當(dāng)x=24時(shí)，212+222+232+242=252+262+272.”

看到大家非常興奮，小明嚴(yán)肅地說(shuō):“大家先別高興，能否迅速地寫出這樣的等式，關(guān)鍵是找到中間的數(shù).請(qǐng)大家觀察這三個(gè)等式32+42=52，102+112+122=132

+142，212+222+232+242=252+262+272，中間數(shù)4、12、24有什么規(guī)律呢?”

小亮的數(shù)學(xué)功底的確深厚，他在黑板上寫了下面三個(gè)等式:

4=2×(1×2)，12=2×(2×3)，24=2×(3×4).

他說(shuō):“它們都可寫成三個(gè)自然數(shù)的乘積，其中一個(gè)為2，其余是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，兩數(shù)之和恰好分別是3、5、7，對(duì)應(yīng)著等式中連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù).”

小嚴(yán)善于從具體的例子中找出規(guī)律來(lái).他說(shuō):“由于奇數(shù)可用2n+1(n為自然數(shù))來(lái)表示，而2n+1=n+(n+1)，所以2n+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)最中間的一個(gè)，應(yīng)該是2n(n+1).”接著他在黑板上寫出:

當(dāng)n=1時(shí)，2n(n+1)=2×1×2=4，等式為32+42=52.

當(dāng)n=4時(shí)，2n(n+1)=2×4×5=40，等式為362+372+382+392+402=412+422+432

+442.

下面是2004年南昌市的中考試題，讀了這篇文章，相信你能拿滿分.

欣賞下面各等式:(1)32+42=52;(2)102+112+122=132+142.請(qǐng)寫出下一個(gè)由7個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成，前4個(gè)數(shù)的平方和等于后3個(gè)數(shù)的平方和的等式