單通道混合信號中周期信號的盲分離

摘要:在定義信號周期性的基礎上，針對多個周期信號、多個周期信號和其他信號單通道混合的情況，提出了基于特征值分析的周期信號盲分離方法，并對算法的可行性、分離誤差及分離效果進行了理論分析.仿真結果表明:該方法能適應較低的信噪比，且具有計算量小、易于實現等優點.

關鍵詞:信號分析;信息處理技術;單通道盲信號分離;特征值分析;周期信號

中圖分類號:TN911.7文獻標識碼:A

BlindPeriodicSignalSeparationofSingleChannelCompositeSignal

PENGGeng1，2，WANGFenghua1，HUANGZhitao1，JIANGWenli1

(1.SchoolofElectronicScienceandEngineering，NationalUnivofDefenseTechnology，Changsha，Hunan410073，China;

2.InstituteofInformationEngineeringandTechnology，NavalAcademyofArmament，Beijing102249，China)

Abstract:Firstly，periodiccharacterofsignalwasdefined.Then，asinglechannelblindsignalseparationalgorithmofperiodicsignalswaspresented，whichisbasedoneigenvalueanalysisofmixedsignalconsistingofmultipleperiodicsignalsorperiodicsignalsandothersignals.Lastly，separationperformancewasanalyzedtheoretically.SimulationresultsindicatethatthealgorithmcanadapttolowerSNR(SignalNoiseRatio)andiseasytoimplementwithsmallcomputationalcomplexity.

Keywords:signalanalysis;informationprocessingtechnology;singlechannelblindsignalseparation;eigenvalueanalysis;periodicsignal

當前國際信號處理領域剛剛興起的一個重要研究方向是僅利用一個傳感器觀測數據的盲信號分離，即單通道盲信號分離(singlechannelblindsignalseparation，SCBSS).由于單通道接收到的信號中含有多個時頻重疊分量的現象非常普遍[1]，在現代復雜電磁環境下，接收到的信號只有一個而源信號有多個，則需用較少的量去估計較多的量，這通常是一個病態問題，要解決這個問題非常困難.因為混合矩陣即使已知，此時混合系統也不可逆，不能簡單地通過混合矩陣求逆而得到源信號.而SCBSS只需要一個信道接收，系統簡單，成本低，具有誘人的應用前景.因此，研究SCBSS具有重要意義.

JamesR等人[2]從理論上論證了單通道盲信號分離的可能性，得出了可分離的條件，即各個信號分量在某個域上必須是可分的，并在已知調制濾波器響應的前提下實現了信號分離，但在實際應用中這些響應函數是很難事先獲得的.研究者們通過挖掘和利用所針對問題的先驗知識，無論是統計性的還是確定性的、系統的還是信號的，提出了一些SCBSS算法[3-11].針對周期信號，Zou等人[9]利用信號分量的周期性和代數技巧，實現了對2個周期信號單通道混合的分離;Cheng等人[10]利用此方法實現了多個固定脈沖重復周期的雷達混合信號和多個可變脈沖重復周期的雷達混合信號的盲分離;ParthaPK等人[11]利用奇異值分解提取出具有周期性的胎兒心電圖.

上述關于周期信號的SCBSS算法，要求每個周期信號波形間不能存在相位差異，而非相差的LFM雷達脈沖信號、直接序列擴頻(DSSS)卻可能存在相位差異.為此，本文研究了不受相位差異影響的周期信號SCBSS算法，且能估計出每個周期內的信號初始相位.

1信號模型和周期性定義

11信號模型

在現代復雜電磁環境下，單個傳感器的輸入可能是來自多個信源而交織在一起的信號流.

st=∑Mi=1sit.(1)

式中:M為信源個數;si(t)為來自第i個信源的信號形式.由于si(t)，i=1，2，…，M來自不同信源的信號，一般可認為它們之間是不相關的.

假設由于信道的影響而在傳輸過程中引入加性高斯白噪聲(AWGN)，則接收信號可表示為:

r(t)=s(t)+w(t).(2)

對接收信號進行無失真采樣，則其離散形式為:

r(n)=s(n)+w(n).(3)

式中:w(n)是均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲，且信號與噪聲是不相關的.

12周期性定義

文獻[9-11]關于信號周期性的定義是:若信號si具有周期性，則其滿足下式:

sin=sin+kNi.(4)

式中Ni為基本周期(fundamentalperiod)，且Ni與Nj互質(i，j∈1，2，…，M).

在實際應用中，有一類信號雖不滿足式(4)，但滿足如下關系:

sin=sin+kNiejΔθ.(5)

式中Δθ為相位差.

式(5)也可變換成如下形式:

sin+kNi=hinejφik，n∈1，Ni，k≥0，k∈Z.(6)

式中:hi(n)為第i個信號的基本波形;φik為此信號的第k個周期相對于基本波形的相位，定義為初相.由此可見，滿足式(4)的信號一定滿足式(5)，即φik=0.

本文將滿足式(5)性質的信號定義為周期信號，顯然它是文獻[9-11]所定義的周期信號的延拓，具有更廣泛的適用范圍;同時，在進行信號分離之前已經對信號進行了零均值化[12].2周期信號單通道盲分離方法

21盲分離原理推導

當多個周期信號單通道混合時，式(1)中的M個信號均為周期信號，它們的周期可事先獲得或通過相關方法估計得到.

利用信號之間及信號和噪聲之間的不相關性，可定義接收信號r(n)的協方差矩陣為:

R=rrH=∑Mi=1sisHi+wwH=

∑Mi=1sisHi+σ2I.(7)

式中:H為共軛轉置;I為單位矩陣;r為信號列向量;si為第i個信號列向量.

信號si的基本波形列向量為hi，它是一個確定的向量，則有:

limL→

SymboleB@ 1L∑Ll=1sHjlhi=limL→

SymboleB@ 1L∑Ll=1sHjlhi=0.(8)

式中:j≠i;sjl表示以Ni為周期將sj分段得到的列矢量.同時，有

limL→

SymboleB@ 1L∑Ll=1sjlsHjlhi=limL→

SymboleB@ 1L∑Ll=1sjlsHjlhi=σ2jhi.(9)

實際應用中通常觀測到的是接收信號的有限個采樣值，因此僅能得到R的估計值.從r(n)中截取長度為LN1(如以i=1為例)的信號樣本，則協方差矩陣R的估計為:

=1L∑Ll=1rlrHl.(10)

式中:

rl=rl-1Ni+1，…，rlNiT.

湖南大學學報(自然科學版)2010年

第4期彭耿等:單通道混合信號中周期信號的盲分離

結合式(7)可得:

=1L∑Ll=1∑Mi=1silsHil+σ2I=

1L∑Ll=1s1lsH1l+1L∑Ll=1∑Mi=2silsHil+σ2I=

h1hH1+1L∑Ll=1∑Mi=2silsHil+σ2I.(11)

式中:sil表示第l段數據中第i個信號的數據列向量.

結合式(9)，將式(11)右乘h1可得:

h1=h1hH1+1L∑Ll=1∑Mi=2silsHil+σ2I#8226;

h1≈‖h1‖2h1+∑Mi=2σ2ih1+σ2h1=

‖h1‖2+∑Mi=2σ2i+σ2h1.(12)

由此可見，的一個特征值為‖h1‖2+∑Mi=2σ2i+σ2，對應的特征向量為h1，即信號的基本波形列向量.同理，根據式(11)可得的其他特征值為∑Mi=2σ2i+σ2(對應的特征向量與h1正交)或0，于是所有特征值為:

λi=‖h1‖2+∑Mi=2σ2i+σ2，i=1，∑Mi=2σ2i+σ2，1

此時混合信號的協方差矩陣有一個較大的特征值，且一般有L

進一步，結合式(8)，可求rl與h1的相關性為:

rlhH1=∑Mi=1silhH1+wlhH1=‖h1‖2ejφ1l=

‖h1‖2+∑Mi=2σ2i+σ2#8226;‖h1‖2‖h1‖2+∑Mi=2σ2i+σ2ejφ1l.(14)

通過求rlhH1的相角，即可得到初始相位φ1l，l=1，2，…，L.求出了基本波形和初始相位，則可得到分離出來的信號s1n=ejφ11，…，ejφ1LTh1.

類似地可得到其他周期信號的特征值‖hi‖2+∑j≠iσ2j+σ2及相應的特征向量hi，進而分離出其他周期信號.可推導出多個周期信號和其他信號等單通道混合時的盲分離原理.

22盲分離算法的可行性論證

下面2個矩陣分析定理可說明上述盲分離算法的可行性.

定理1(特征值的穩定性)[13]令R為n×n維實對稱矩陣，其擾動用δR表示，R，R+δR的特征值分別為λ1≥…≥λn和λ′1≥…≥λ′n，則這兩組特征值應滿足:

|λ1-λ′1|≤‖δR‖F.(15)

該定理說明:在存在擾動的情況下，矩陣特征值的變化不超過擾動矩陣的F范數.

定理2(特征向量的穩定性)[13]令R+δR=DTAD，其中D為非奇異矩陣.若定義ρi=defminj≠iλj-λiλi，β=def‖D-I‖F，γ=def‖DTD-I‖F，δ=def‖DTD‖F‖D-TD-1-I‖F，則(假定ρi>γ)

sinθi≤δρi-γ+β.(16)

式中:θi為R，R+δR的第i個特征向量之間的夾角.

在存在擾動的情況下，矩陣特征向量方向變化的正弦不超過δ/(ρi-γ)+β.

上述2個定理說明:在觀測數據中存在其他信號、噪聲的情況下，其協方差矩陣的特征值分解具有穩定性，因此利用特征值分析分離出單通道混合信號中的周期信號的確是可行的.

23分離性能分析

對于盲分離算法的性能，可通過分析周期信號的分離誤差來評價.根據矩陣擾動理論，可知矩陣擾動下的特征值和特征向量為[14]:

E(k)=λk1+1L∑Nki=1i≠kλiλk-λi，(17)

cov(k)=λ2k/L，(18)

Ek=uk，(19)

covk=λkL∑Nki=1i≠kλiλk-λi2uiuHi.(20)

式中:ui為特征值λi對應的正交歸一化特征向量.

由式(17)～(20)可以看出，雖然特征值是有偏估計，但特征向量卻是無偏估計，以第1個周期信號為例分析其估計方差.設其在一個周期內的能量為σ2s，則式(20)可化為:

cov1=σ2s+σ2L∑minL，N1i=2σ2σ4suiuHi=

σ2s+σ2σ2Lσ4s∑minL，N1i=2uiuHi=

1Lσσs2+σσs4∑minL，N1i=2uiuHi.(21)

從式(21)可以看出，特征向量ui是確定量，u1的估計方差不僅與累積周期數L及L與周期N1的關系有關，而且與信號的噪聲能量有關.若L1越大、信噪比越大，則估計方差越小，即分離誤差越小、分離效果越好.24分離效果評價指標

在大多數情況下，恢復信號各分量的波形是最重要的，同時也要對源信號的能量(或幅值)有準確的估計.為此，本文的單通道盲信號分離效果采用如下信噪比評價指標[15]:

SNRout=10lgErisit2Erisit-it2，(22)

ri=Esits^itEsit2.(23)

式中:si(t)為源信號;it為恢復(或分離)的信號.

3仿真實驗與分析

31仿真實驗1

設置如下仿真實驗場景:DSBPSK信號的載波頻率15MHz、碼元速率1Mbps，m序列、擴頻碼長25-1=31、信息碼隨機產生，BPSK信號的載波頻率15MHz、碼元速率1Mbps，信息碼隨機產生，滾降系數為0.5的升余弦成形濾波，采樣頻率100MHz，單通道混合時的功率均相等，分離周期信號時用了500個周期長度的數據.圖1為此仿真場景下的盲分離結果.

數據點數

圖1DS信號分離前后的部分基本波形

Fig.1PartialbasicwaveformofDSsignalbefore

andafterseparation

由圖1可知，算法能有效分離出單通道混合信號中周期信號的基本波形，進而較準確地估計出每個周期所對應的初始相位，從而通過基本波形和初始相位準確地恢復源周期信號波形.

32仿真實驗2

仿真參數同實驗1.當SNR(即周期信號能量與噪聲能量之比)為0dB時，分離性能隨干信比(即非周期信號能量與周期信號能量之比)的變化曲線如圖2所示.由圖2可知，干信比越低，分離性能越好.

干信比/dB

圖2干信比對分離性能的影響

Fig.2PerformancecurveofISRonseparation

33仿真實驗3

仿真參數同實驗1.圖3給出了0dB干信比時分離性能隨SNR的變化曲線.由圖3可知，信噪比越高，分離性能越好.

4總結

針對單通道盲信號分離這類特殊的欠定盲信號分離，在定義信號周期性的基礎上，針對多個周期信號、多個周期信號和其他信號單通道混合的情況，提出了一種基于特征值分析的周期信號單通道盲分離方法，進而對分離性能進行了理論分析.仿真結果表明:該方法能適應較低的信噪比，且易于實現，具有一定的軍事意義和經濟價值.

輸入信噪比/dB

圖3信噪比對分離性能的影響

Fig.3PerformancecurveofSNRonseparation

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