圖示法教學在線性規劃建模過程中的應用

[摘要]線性規劃建模問題在運籌學課程中占有越來越重要的地位。本論文首先提出了利用圖示的方法輔助教學的思路，然后結合實際的運籌學題例解釋了網狀圖示和時間軸圖示在運籌學教學過程設計以及解析題目的過程。最后說明了利用多媒體教學進行圖示需注意的兩個關鍵問題。

[關鍵詞]線性規劃;建模;網狀圖示;時間軸圖示;多媒體

[中圖分類號]G642.41[文獻標識碼]A[文章編號]1005-4634(2010)05-0045-04

線性規劃是運籌學規劃論中的基礎理論，是解決稀缺資源最優分配的有效方法，在教學過程中，主要以建模和求解兩部分內容為核心。傳統的運籌學教學內容始終以求解原理和求解過程為重。由于線性規劃問題的求解方法(主要方法指單純形法)已經程式化，完全可以使用軟件求解，因此教學模式的重心必須偏移。特別是在經濟管理專業的運籌學教學中，只有使學生掌握建模方法和思路，然后直接應用現有的軟件去求解，才能使學生學有所用，實現線性規劃理論的工具功能[1]。

線性規劃問題數學模型的建立需要學生具有分析實際問題的能力和一定的創造性。將相對復雜的經濟問題轉化成線性規劃數學模型常常使學生在課堂上不能及時理解，課下還要花很多工夫去反復思考。筆者在經濟管理專業運籌學的教學過程中發現，使用圖示法有助于學生迅速掌握建模思路和方法，同時增強其利用線性規劃理論解決實際問題的能力。

1圖示法教學思路

圖示法，是指在講解問題的過程中使用圖形的形式，表達問題的實質和講解者思考問題的思路，使聽眾通過圖形形象借助視覺迅速感知并理解，從而提高講解者講解效率的一種方法。其中圖形的選擇和設計是圖示法表達問題的關鍵。有很多圖形已經成為某些學科在講解中必不可少的、成型的圖示工具，例如技術經濟學中利用現金流量圖來分析資金的流入流出就具有相當成熟和有效的解釋力。

圖示法的教學思路主要可以分成三個步驟。第一，用語言直接進行題目闡述。這個步驟的目的是讓聽者能夠大概了解題目所涉及的現象和問題的主要內容，有哪些已知的信息，有哪些未知的信息。有時候可以根據題目要求直接說明需要解決的問題有哪些。第二，讓聽者思考的同時，重新使用圖形再次描述題目所涉及的現象和內容的實質，這時，對題目描述應更注重其邏輯性，并將主要現象和次要現象分開。第三，根據圖形，尋找解決問題或現象內容的關鍵，從而做出結論。有時，還可以利用圖示引出新的問題。

2線性規劃建模時兩種典型的圖示方法

在教學過程中，建立線性規劃數學模型時有三個關鍵問題需要重點解決。其一，決策變量應當如何選擇，選擇幾個;其二，約束方程共有幾個，如何找到;其三，目標函數如何表達。利用圖示法有助于輔助學生解決以上問題。

目前，在運籌學教材和教學中，線性規劃的建模程序和方法并沒有使用圖示法的先例。于是，不同教師講解時的技巧和對學生思維的引導就成為決定理解和運用這部分理論的關鍵問題。根據以往的教學經驗，線性規劃的典型應用范圍體現在生產計劃問題、儲運問題、投資問題、排班問題、運輸問題等幾個方面，筆者認為這些不同種類的建模問題都可以用圖示法來輔助講解，其中網狀圖示和時間軸圖示是其中兩種較典型的圖示方式。

2.1網狀圖示

網狀圖示適用于產品生產計劃、運輸問題等，如果問題涉及加工路線、送貨路徑時，用網狀圖示表示較為方便，并易于理解。網狀圖與網絡圖相似，由箭線、線段及結點所構成。通常所有箭線組成的路徑的數量即為線性規劃問題中需要設定的決策變量的數量。

例1某廠生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產品，都分別經A、B兩道工序進行加工。設A工序有兩臺設備A1和A2，B工序有三臺設備B1 、B2和B3。已知產品Ⅰ可以在A、B兩道工序中的任何一臺設備上進行加工;產品Ⅱ可在A工序的任何規格的設備上加工，但完成B工序時，只能在B1上加工。產品Ⅲ只能在A2與B2設備上進行加工。加工單位產品所需工序時間及其他各項數據見表1，試安排最優生產計劃，使該廠獲利最大[2]。

這是典型的產品生產計劃問題，適合用網狀圖示方法來輔助建模。

本例中，學生會自然想到決策變量為三種產品分別生產的數量。但由于生產三種產品可能的路線不同，需要對三個變量進行分解。如何分解呢?用圖形表示如下(見圖1)。

1)決策變量的選擇。在圖1中，可以清晰地回顧和解釋題目中所描述的兩種產品必須經過的生產工序和可能利用的設備情況。A、B兩道工序的箭線數量就是分解之后的決策變量數量。由于產品Ⅰ的加工路線可以有六種，因此，決策變量可以分解成六個變量;產品Ⅱ的加工路線有兩條，決策變量可以分解成兩個變量;產品Ⅲ只有一條加工路線，所以無需分解。

2)約束方程的尋找。在表1中，可以分析出約束方程有五個，均屬于設備的臺時約束。當考慮設備A1的臺時利用方程時，通過圖1可以看出，設備A1的臺時約束方程涉及的決策變量包括、、，于是可以很容易地列出設備A1的臺時約束為:。當考慮設備A2臺時約束方程時，所涉及到的變量包括、、、，，同理，其它三臺設備的臺時約束可知(略)。

3)目標函數表達。本例中決策目標是尋求獲利最大的方案。此中，通過上述決策變量的分解及設備臺時利用的數學表達式的確定，很容易根據銷售收入扣除原材料費和設備加工費從而獲得利潤的函數表達式。

2.2時間軸(或時間輪盤)圖示

時間軸圖示適用于排班、連續投資等與時間相關的線性規劃問題。其中，時間的變化是決策者決策的關鍵因素。對于循環型時間可以采用時間輪盤表示，例如晝夜輪班的排班問題就可以使用時間輪盤描述。涉及非循環時間問題，可以使用時間軸來圖示。

例2連續投資10萬元，有四個投資項目A、B、C、D可供選擇。A項目從第1年到第4年每年初可以投資，次年末回收本利1.15;B項目第3年初投資，到第5年末回收本利1.25，但最大投資額為4萬元;C項目第2年初投資，到第5年末回收本利1.40，最大投資額為3萬元;D項目每年初投資，每年末回收本利1.11。如何投資可以使第五年末總資本最大[3]。

本例題中決策變量取決于四個項目的投資機會，與示例1相比資源約束不太明顯，需要使用時間軸圖示法來輔助建模。

本例中，可以借鑒技術經濟分析中現金流量圖的做法來設計時間軸圖示，見圖2。其中每個項目的投資與回收情況用一個時間數軸來表示。軸上數字代表每一年的年初同時代表下一年的年末。例如2代表第二年年初，第三年年末。投入資金用向下的箭頭表示，投出資金用向上的箭頭表示。因為投入的資金量待定，所以箭頭的長短并不代表投入資金的多少。圖中虛線代表回收的資金的來源。例如，在A項目中，第三年年初獲得的資金回收來源于第一年的年初投入的資金。

1)決策變量的確定。由圖2可知，所有的每年年初的投資機會都表現在向下的箭頭上。決策者要確定在有這些投資機會的情況下，分別應當投入多少資金。于是，所有的決策變量的設定如圖3所示。

2)約束方程的尋找。本例中，明確的約束包括B、C兩個項目的投入最高限制和第一年年初的投入資金限制，可列出方程:，， 。

而第2年到第5年年初投資時的資金限制往往容易被學生忽略，屬于不明顯的約束。利用圖2，可以很容易的找出約束方程的表達式。第二年年初的資金(見圖2中向下的箭頭)有三個投資機會，即A、C、D項目投資總額為，第二年年初(第一年年末)時獲得的資金總量(見圖2中向上的箭頭)就是本年初可能投入的最多資金。本年初獲得的資金可以表示成(圖中的虛線表示資金回收的源頭，即只有D項目在第二年年初回收了第一年初投入的資金及利息)。

因此，其約束方程為，同理，第3、4、5年年初的約束方程為 。可見，圖2使題目思路清晰而易于準確列出數學表達式。

3)目標函數的表達。第5年末(即第6年初)的資本總額可以來源于四個項目。由圖2中虛線的連接端點可知，第五年末項目A可能獲得的資本回收來源于第四年年初的投入，資金回收額表達式為。同理，其它項目資本回收額的表達式分別為。目標函數為可以寫成。

3圖示法教學過程的實現

圖示法教學可以結合傳統的教學方法由教師講解的同時手動畫出。在計算機技術飛速發展的今天，通過使用電腦設計圖形的多媒體教學既可以完美的呈現手動畫圖并講解的優勢[4]，又可以消除手動畫圖慢、亂、色彩有限等不足之處，還可以利用多媒體制作工具創造性地表現圖形。同其他多媒體課件內容的制作方法一樣，使用圖示法教學要特別注意以下兩點關鍵問題。

3.1圖形放映順序

圖形放映順序應當遵循教師導引學生的順序依次放映。以本文中圖1為例，根據題意，教師可以先放映兩道工序設備的圖片，然后放映產品所有可能的加工路線，繼而說明設定決策變量的方法同時將決策變量的設定顯示在屏幕上。最后就可以借鑒屏幕顯示的內容引導學生進行建模。

3.2互動性效果的設計

由于運籌學建模的思維可以培養學生的邏輯思維能力，在教學過程中需要與學生互動才能達到上述目的。因此，在多媒體設計中教師一方面要注意隨時向學生提問，另一方面對課件的設計提出了較高的要求。例如課件圖片色彩要和諧，切忌顏色雜亂;對于動畫出現的方式以及插入的圖片、符號、圖形等要以對學生的觀感不產生喧賓奪主的原則為依據進行設計。

參考文獻

[1]董振寧，劉洪偉.管理類專業運籌學教學存在的問題及對策[J].中山大學學報論叢，2006，26(1):32-35.

[2]胡運權.運籌學教程[M].北京:清華大學出版社，2003:41.

[3]錢頌迪.運籌學[M].北京:清華大學出版社，1990:42-43.

[4]陳敏林.多媒體輔助教學課件與課堂教學[J].中國電力教育，2006，(s4):407-408.