對教材中“思考與討論”欄目認識作用

在新教材中，勻變速直線運動中位移與時間的關系是借助于速度-時間圖象來推導的。在推導中，很多學生對在勻速直線運動情況下，速度圖線與兩坐標軸所圍成的面積等于在相對應的時間內所通過的位移這一結論還是能理解的，但對勻變速直線運動情況下，速度圖線與兩坐標軸所圍成的面積也等于在相對應的時間內所通過的位移就表示不太好理解了。學生所想不通的地方是:為什么速度圖線與兩坐標軸所圍成的面積等于在相對應的時間內所通過的位移?我們老師在講到這一內容時，覺得要講得讓學生很自然地接受這一知識也頗不容易。然而，當我們仔細研究教材時，發現教材中的“思考與討論”已為我們解決這一難題作了很好的鋪墊。下面讓我們來看一下教材是如何借用這一欄目來作鋪墊的:

教材提供的內容是對變速運動位移的估算，大概內容是這樣的:老師拿來了往屆學生所做“探究小車的運動規律”的測量記錄，相應的數據如下，見表一:

老師要求學生根據表中的數據，用最簡便的方法估算出小車從位置0到位置5的位移。

學生A:X=0.38×0.1+0.63×0.1+0.88×0.1+1.11×0.1+1.38×0.1=……

學生B:A的辦法不行，從表中看出小車的速度不斷增大，0.38只是0時刻的瞬時速度值，以后的速度比這個數值大，如用這個值進行計算，得到的位移要比實際位移小，后面幾項也是同樣的問題。

學生A:老師要求的是“估算”，這樣做是可以的。

老師:兩人說得都有道理，這樣做的確會帶來一定誤差，但在時間間隔比較小，精確程度要求比較低的時候，可以這樣估算。如果要提高估算的精確度，其中一個方法請大家考慮:在實驗時如果時間間隔不是取0.1s，而是取得更小些，比如0.06s，用同樣的方法計算，誤差是不是會小些?如果取0.04s、0.02s，誤差又會怎樣?歡迎大家發表意見。

我們對上面的材料進行分析可知，教材設置的“思考與討論”是要告訴我們這樣幾個結論:第一、變速運動的位移可以按幾段勻速直線運動的位移相加來估算;第二、這樣估算是有誤差的，但估算值要比真實值小;第三、當時間間隔取小后，誤差仍存在，估算值也仍比真實值小，但不同的是當時間間隔取越小，其估算值越大，估算值也就越接近真實值，所以其誤差值就越小;第四、教材提出了極限的思想。至此，設置這樣的“思考與討論”其目的是顯而易見了，教材是希望老師去引導學生朝這個方向思考。當然，如果我們對“思考與討論”進行擴展，那效果就更好了。

下面，讓我們進行這樣的擴展:一個做勻加速直線運動的物體，其初速度為2m/s，加速度為2m/s2，試估算前5秒內所通過的位移。現讓我們根據教材所提供的方法進行估算:

第一種情形:時間間隔為1秒，那么每隔1秒速度增加2m/s，在5秒內的位移:

X=2×1+4×1+6×1+8×1+10×1=30m。

第二種情形:時間間隔為0.5秒，那么每隔0.5秒速度增加1m/s，在5秒內的位移:

X=2×0.5+3×0.5+4×0.5+5×0.5+6×0.5+7×0.5+8×0.5+9×0.5+10×0.5+11×0.5=32.5m。

顯然，這樣的估算值小于真實值，但比第一次更接近真實值。

第三種情形:時間間隔為0.25秒，每隔0.25秒速度增加0.5m/s，在5秒內的位移:

X=(2+2.5+3+3.5)×0.25+(4+4.5+5+5.5)×0.25+(6+6.5+7+7.5)×0.25+(8+8.5+9+9.5)×0.25+(10+10.5+11+11.5)×0.25=33.75m。

同樣，這樣的估算值也小于真實值，但比第二次更接近真實值。

上面三種情形我們可以利用圖形來表示，三種情形分別對應圖1、圖2和圖3。

圖2中矩形面積之和要比圖1矩形面積大，且更接近于整個梯形面積。再通過圖3與圖2的比較，我們可以直觀得出這樣的結論，如果時間間隔取得越小，矩形面積之和就越接近梯形面積。也就是說，當時間間隔取得非常小的時候，矩形面積就可以近似等于梯形面積，即5秒內的位移可以用對應的梯形面積來表示。

當學生明白這個道理后，再來推導普通情況下勻變速直線運動中位移與時間的關系就變得容易得多了。

(欄目編輯鄧 磊)