用不定方程解中學化學習題的方法與技巧

文章編號:1005-6629(2010)05-0070-02 中圖分類號:G632.479 文獻標識碼:B

1979 年高考的一道化學題在解答過程中涉及到一次不定方程，當時不知難倒了多少英雄豪杰，從此以后就陸陸續續出現了一些與不定方程有關的化學問題。有人認為化學問題不需要腦筋急轉彎，而實際上，上面提到的問題需要敏銳的洞察力，才能解答出來。

涉及不定方程的化學問題，在解答過程中，建立方程不太難，難在解方程上。所謂不定方程，就是指未知數的個數多于方程的個數，且取整數值的方程。一次不定方程的數學解法比較麻煩。一般的奧數教材或初等數論教材都會有詳細介紹。化學問題中涉及的一次不定方程，大多都有條件限制(這些限制條件往往是隱含的)，不能完全按照通常的數學解法，否則，有些題花了很多時間都未必能得出理想的答案。人們常用的是討論法，本文介紹了一些新穎的方法與技巧。

1利用題中以及不定方程中的隱含條件與不定方程聯立求解，可避免窮舉法式的討論

例1. 25 ℃某氣態烴與O2混合，在密閉容器中點燃爆炸后，又恢復至25 ℃。此時容器內壓強為原來的一半，再經NaOH溶液處理，容器內幾乎變成真空。該烴的分子式可能為( )

A. C2H4B. C2H6C. C3H6D. C3H8

這是一個二元一次不定方程，通常的數學解法比較麻煩，即使是求出了通解，也要逐一討論，費時費力。我們這里找出題中以及不定方程中所含的一些隱含條件，結合不定方程聯立求解，很快就可以得出該不定方程的解。

由原題的四個選項可知(題上的隱含條件):x，y是正整數，且

2不定方程中的隱含條件“不明顯”時，可將方程恒等變形，結合題中隱含條件分析就可得到不定方程的隱含條件

例2. 將烷烴、烯烴按體積5∶1混合，相同狀況下該混合氣體對H2的相對密度為16，則混合氣體的組成為( )

A. 甲烷，乙烯 B. 乙烷，丙烯

C. 丁烷，丁烯 D. 甲烷，丁烯

解析:同溫同壓下氣體體積比等于物質的量比，故烷烴、烯烴物質的量比為5∶1。依據題意知，混合氣體的平均相對分子量為32，該烷烴分子式為CnH2n+2(1≤n≤4)共5 mol，烯烴分子式為CmH2m(2≤m≤4)共1 mol，由此得[5×(14n+2)+14 m]÷6=32，整理得:

經驗證，當x=3， y=4時，化學式C3H4O2成立。

用上面同樣的方法檢驗z=3，z=4，z=5，z=6等，都找不到合適的化學式成立。筆者一直驗證到z=15都沒有找到滿足題意的化學式，從不定方程的一系列解可以看出，當z逐漸變大時(z>2)，找到滿足題意的化學式的可能性越小。

綜上:一些與不定方程有關的化學問題，隱含條件比較離散，邊解題邊一個一個的找，一個一個的討論既費時又費力。我們把它們逐一找出來，與不定方程聯立求解，即求有條件限制的不定方程的解，或可認為求方程的解集與不等式解集的交集，有的隱含條件用到求解不定方程可起到消元的作用或突破口的作用，或鎖定解的范圍的作用。當然，對有的學生來說，隱含條件不是一下就能找全，一般說來，隱含條件找得越多，則解題過程中討論的越少，甚至不討論就能得出解，可大大節約時間。雖然上面的解題思路不一定能對每一個這類化學問題做到最簡便運算，但基本上可做到不走彎路，不漏解，不枉解。