骰子\\數學\\文化

舉世聞名的科學家愛因斯坦有一句名言：“上帝不擲骰子”。在這里，我們不考慮這句話的原意與是非，但一個很顯然的結論是，擲骰子對愛因斯坦這樣的科學家來說是耳熟能詳的事情。之前，偉大的天文學家伽利略也寫過標題為《關于骰子游戲的思想》的短文，對拋擲骰子的問題進行了數學化的思考。同時，中國古代也創造了與骰子有關的許多文化。因此，有必要在初中數學綜合實踐活動中，對骰子、骰子中的數學與文化加以考察與研究，以培養初中學生的觀察分析能力、空間想象能力及創新意識。

1 骰子的構造、特點、作用

觀察一顆常見的骰子，你會發現，它是一個正六面體，上面分別有一到六個點，其相對兩面之點數和為7，骰子1、2、3所對應面的法向量成右手“正交標構”。中國的骰子習慣在一點和四點漆上紅色。從數學的角度看，骰子是隨機數發生器，它能隨時隨地隨機地產生1至6的一個數字。

以上骰子的兩個特點是確定骰子六面點數順序的標準：

1.骰子數字的對稱性：其相對兩面之數字和為7；

2.骰子的右手定則：骰子1、2、3所對應面的法向量成右手“正交標構”。相當于電磁學中用于判斷感應電流方向的右手定則。

有了這兩個特點，在不考慮骰子的大小、質地與顏色的前提下，骰子各面的點數就被唯一確定，即兩顆相同骰子的規定：當兩顆骰子的兩個相鄰面的點數與朝向都相同時，朝向相同的面的點數也相同。也就是說，如果已知骰子兩個相鄰面的點數，可以推知其余四面的點數，首先根據“其相對兩面之數字和為7”這一特點，可以確定已知面的相對面的點數，其次，由右手定則確定剩余兩個(相對)面的點數。

事實上，將1至6這6個數字相對應的點分別標在一顆正六面體的各面上，如果不考慮一個面上各點的排列，則有6!=720種標法，盡管其中，從觀察的角度去考慮，由于其正六面體的對稱性，有許多種標法是相同的，但不同的標法也有很多，如果每顆骰子制作時，在一顆正衣面體的六個面上，隨意標上1至6這6個數字相對應的幾個點，那么就顯得有些雜亂無章，不夠規范，造成擲骰子的人，在擲出骰子后，不能根據骰子的滾動，事先判定骰子的點數；也讓現在的骰子的生產廠家因無標準而無所適從。但在以上骰子的兩個特點下，骰子上各面點數的排列就可以規范化，因為，只要在正六面體同一個頂點的三個面上分別標上1、2、3，其余三個面上所標數字就相應確定下來了。而這1、2、3，三個數字的標法按從小到大的右手定則即可，就象按右手定則畫空間直角坐標系一樣。以上骰子各面的點數的規范性也使人感受到了前人追求統一和諧的理念。

2 骰子的數學

2.1 一顆骰子的概率問題

對初中學生而言當然可以由“其相對兩面之數字和為7”這一特點而想到：若干個連續的自然數之和的求法，再提升之等差數列前Ⅳ項之和的求法。

但就拋擲一顆骰子而言，我們通常用骰子上面的點數來表示擲得的結果，最能想到的數學化的問題就是概率問題：設骰子的構造是均勻的，問擲得的可能結果有哪些?這些結果發生的可能性有多大?解之，可以得到拋擲一顆骰子，擲得的點數的概率分布表：

從中再提出：當多次拋擲一顆骰子后，如何估計擲得的平均點數，你期望它是多少?這就是概率中的數學期望。甚至，可以讓學生去討論此概率分布的特點，為以后學習離散型隨機變量的概率分布作鋪墊。值得注意的是此題中由于拋擲的次數與每次的結果沒有統計，所以其答案是不確定的，只要假設的理由充分，所有的結論都有可能是成立的。

2.2 旋轉變換群的元素個數

如果從拋擲一顆骰子的旋轉變換的角度去考慮，則產生的數學問題就有點復雜了，有的恐怕要用近世代數的群論或更為高級的數學方法來解決了，因為據網上介紹，馬王堆漢墓出土的漆六博具中，一個骰子竟然有18個面。現就常見的正六面體骰子，提出一個問題，并嘗試用初中學生也能理解的方法來解決。

讓我們設想一下：如果有一個正方體的盒子，剛好能放進一顆骰子，并且，將這盒子的上下、四周的六個面按相對位置分別標上：上、下、前、后、左、右這六個字，拋擲一顆骰子就相當于將一顆骰子隨意地放進這盒子中，則骰子的六個面與盒子的六個面可以近似地看成重合，而骰子的六個面與盒子的六個面對應的點數，按“上、前、右、左、后、下”這一順序構成了一個六維的數組，如(1，2，3，4，5，6)，這樣的數組實際上表示的是骰子的一種旋轉，或者可以看成是骰子旋轉后的六個面的一種平面展開圖。我們稱這樣的數組為可行的置換，這些可行的置換的全體構成了一個集合，我們稱之為旋轉變換群。現在的問題是要求這旋轉變換群的元素個數。解決這一問題的出發點當然是前面提出的骰子的兩個特點，我們假設盒子的上面與前面是透明的，可以看見里面骰子對應面的點數，而骰子上面與前面是兩個相鄰的面，則可知骰子其余四個對應面的點數，但骰子上面與前面對應的點數分別有6與4種可能，故所求元素個數為6×4=24。

2.3 不可行的置換的判定方法

隨之而來的另一問題是，由1、2、3、4、5、6這六個數字而產生的數字不重復的六維數組共有6 1=720種，其中表示骰子旋轉的共6×4=24種，屬于可行的置換；不是表示骰子旋轉的共720—24=696種，這樣，每一種不是表示骰子旋轉的數組，我們都稱其為不可行的置換。如何判定這些不可行的置換?其方法可以為：

a.找一顆骰子模擬一下，這是最直接的方法；

b.窮舉出24種可行的置換，然后將任一六維數組與之比較；

c.查找可行的置換必須滿足的充要條件：

(1)對稱性：可行的置換數組的第一位與第六位、第二位與第五位、第三位與第四位上的數字之和為七(由骰子數字的對稱性決定)；

(2)可行的置換只能改變0、4、6個數字。我們將(1，2，3，4，5，6)看成是原始數組，它是可行的置換，而將其他的六維數組看成是對原始數組的數字的改變。

首先，任一數字不重復的六維數組如果看成是對原始數組的數字的改變，則改變的數字個數最大是6；其次，由骰子數字的對稱性，決定了可行的置換只能改變偶數個數字；第三，可行的置換不能只改變2個數字，因為，如果可行的置換只改變2個數字，則不符合骰子的右手定則；最后，窮舉出24種可行的置換，都只改變0、4、6個數字。所以，可行的置換只能改變0、4、6個數字。如：(1，2，3，4，5，6)與(1，4，2，5，3，6)都是可行的置換；而(1，2，4，5，3，6)是不可行的置換，因為它的第三位與第四位上的數字之和不為7；(1，2，4，3，5，6)也是不可行的置換，雖然它滿足對稱性，但它只改變了第三位與第四位上的共2個數字。

2.4 二顆骰子的概率問題與思考

就拋擲二顆骰子而言，再來談一談其數學化的問題。為什么二顆骰子的某些和數的出現看來似乎有同樣大小的可能性，而玩骰子的人們卻認為它們不是同等可能的，如和數為7比和數為6更占有優勢。(伽利略在一篇寫于1613和1623年之間、標題為《關于骰子游戲的思想》的短文中對與此類似的問題做過解釋。)

用現代概率語言來描述以上問題就是：設骰子的構造是均勻的，則拋擲兩顆骰子，出現和數為7比和數為6的概率大，為什么?將此問題再擴大，就是同時拋擲兩顆骰子，問擲得的點數之和有哪些?并求這些結果出現的概率。

分別以兩顆骰子的點數為橫軸與縱軸建立平面直角坐標系，并在坐標系中畫出兩顆骰子的點數對應的點，然后，對此問題進行系統研究。可以得出拋擲兩顆骰子，擲得的點數之和的概率分布表：

從表中可知拋擲兩顆骰子，出現和數為7比和數為6的概率大1/36。由此還可以想到，依據骰子六面刻著的點，可以把二顆骰子組合成幾種僅所含點數不同的方案?實際上，以上問題就是一個簡單的組合問題：從1、2、3、4、5、6這六個數字中，可以重復的取出兩個數合成一組，有多少種不同的組合?答案是21種。但我們想過要把以上這些不同的組合方案，按一定之規全部畫出嗎?畫出之后又能做些什么?下面介紹的古人對此的創設及文化拓展，值得我們借鑒。

3 骰子的文化

要說骰子的文化，許多人都知道，與唐明皇有關的“骰子的一點與四點被漆上紅色”與“放肆”的兩個典故。據介紹，前者還是新加坡華文挑戰賽學生組的一個中文試題呢。但我還是覺得，古人由二顆骰子的組合圖案而設計出的牙牌及其衍生的“挖花牌”中，具有更豐富的數學思想與文化內涵。

清人陳云龍《格物鏡原》載：北宋宣和二年(1120年)有大臣建議：“設牙牌三十二扇，共計二百二十七點，以按星辰布列之位。譬天牌兩扇二十四點，象天之二十四氣；地牌兩扇四點，象地之東西南北；人牌兩扇十六點，象人之仁義禮智，發而為惻隱羞惡辭讓是非；和牌(鵝牌)兩扇八點，象太和元氣流行于八節之間。其它牌名，類皆合倫理庶務器用。”于是，之后的宋高宗“詔如式頒行天下。”可見牙牌已經有800多年的歷史了，而當時是以相當于現今的中央文件的形式告示天下，可知其重視程度。顯然，初設之意不僅僅是游戲娛樂?也是籍此以教化民眾，寓教于樂吧。如“人牌”所示之“仁義禮智”，有人認為惻隱之心，是仁愛的端倪；羞惡之心是正義的端倪；辭讓之心是禮儀的端倪，是非之心是明智的端倪，講的是做人的道德，這些做人的道德至今仍在提倡。甚至，我們還可以籍此與當今美軍在伊拉克用撲克牌通緝戰犯作比較，來研究一翻。下面是網上下載之部分牙牌的圖片：

從上圖可知，牌成長方形，初用象牙制成，故名牙牌。后改為骨質又叫骨牌。長基本上是寬的二倍，因而一張牌也是由上下兩部分組成。每一部分都是一顆骰子的一個面!而且其顏色也和骰子相同的。也就是說，一張牙牌，其點數是由兩顆骰子的點數構成的。

而在“挖花牌”中，二顆骰子共21個組合圖形都構成了其中的基本牌。前人在“挖花牌”游戲中，還創造了不同的“挖花牌”歌調系列，如當打出一張“地牌”時，就唱與“地”(或二點)有關的句子：“二弟關云長，落馬斬顏良”。這樣，不用看打出的牌，只聽唱曲，就可知打出的是什么牌，甚是有趣。

中國古人將二顆骰子的每個組合都進行了充分的利用，形成了牙牌與“挖花牌”等各種形式的牌，并創造了豐富的文化內涵。而這些牌既可游戲又具有正面的教育意義與文化傳承。其游戲規則中似乎還具有一定的哲學含義，尚待研究。可見，骰子雖然只有方寸大小，但其中變化無窮的數字組合之中蘊含的奧秘卻可謂氣象萬千。

后記：暑期把玩骰子二枚，突發奇想，成就《骰子、數學、文化》拙文一篇。本文較為得意之處：一是用數組表示了骰子的旋轉變換，給出了一些與此相關的數學問題及其解決的方法與結論，且所用的數學概念來自近世代數中的群論，而其解釋的方式，卻能為初中學生所接受與理解；二是顛覆了人們對骰子的理解僅限于機會游戲與概率的觀念。