“信息安全數學基礎”案例教學

摘要:本文針對“信息安全數學基礎”課程教學中存在的問題和困境，結合教學實踐經驗，給出幾個課程教學案例，對激發學生學習興趣，提高課程教學質量具有積極的借鑒意義。

關鍵詞:案例教學;信息安全數學基礎;密碼學

在當今的信息時代，信息已成為國家的重要戰略資源。信息的安全直接關系到一個國家的政治穩定、經濟發展和社會進步。為加強對信息安全人才的培養，我國教育部、科技部、信息產業部、國防科工委、國家自然科學基金都把“信息安全”作為優先發展的領域。2001年以來國內已有50多所高等院校建立了信息安全本科專業，部分院校還設立了信息安全相關的碩士點、博士點。而“未來的信息戰爭在某種程度上是數學的戰爭”，數學在信息安全中占有非常重要的地位。如信息安全模型的建立、密碼體制的設計、安全性證明以及對密碼體制的形式化分析和密碼分析，涉及數論、代數、組合數學、橢圓曲線理論等方面的知識，而這些數學知識是學生在“高等數學”、“線性代數”、“概率統計”等工科必修數學課程中沒有學習過的。因此考慮到相關數學基礎知識在信息安全專業學習中的重要性，絕大部分院校在各自的信息安全專業人才培養方案中都將“信息安全數學基礎”課程作為一門專業必修課。[1]

1課程現狀

筆者自本校2004年設立信息研究與安全本科專業以來，已連續講授了3屆本科生的“信息安全數學基礎”課程，并編寫了《信息安全數學基礎》教材(國防工業大學出版社2009年3月出版)，積累了比較豐富的授課經驗，希望能與大家共享。

由于“信息安全數學基礎”課程課時緊、內容多、

難度大，各個知識點之間缺少聯系，是對數論、近世代數、橢圓曲線理論等數學專業知識的簡單集成和壓縮，理解起來比較困難。筆者在教學過程中邊摸索邊改進，注重數學理論的引入，介紹相關知識的實際背景和科學史實，激發學生的學習興趣，避免學生學習的盲目性。尤其是筆者在教學過程中集中體現啟發式教學的理念，大量使用案例教學，將枯燥無味的數學理論知識做成實踐—理論—實踐的三明治，色、香、味俱全，使學生“吃”起來津津有味，很好的調動了學生的積極性和主動性，使課堂氣氛活躍，充分體現了學生的主體地位和老師的主導作用。學生不僅輕松愉悅的掌握了教材中的數學知識，還主動在課后閱讀其他參考資料，收到了很好的學習效果。以下是筆者在教學過程中使用的教學案例，希望能起到拋磚引玉的作用。[2]

2教學過程中的幾個案例

2.1單向函數概念教學案例

T:(幻燈片)兩個朋友Alice和Bob想在晚上一起外出，但他們定不下來是去電影院還是歌劇院。于是他們達成一個通過投擲硬幣來決定的協議。Alice拿著一枚硬幣并對Bob說:“你選擇一面，然后我來拋”。Bob選擇后，Alice把硬幣拋向空中。然后他們都注視硬幣，看結果是哪一面朝上。如果Bob選擇的那面朝上，則他就可決定要去的地方，否則由Alice決定。

作者簡介:秦艷琳(1980-)，女，講師，博士研究生，研究方向為信息安全與密碼學。

現在假想這兩個朋友嘗試在電話上執行上述協議，Alice向Bob說:“你選一面，然后我拋硬幣并告訴你是否贏”。

向學生提問Bob能否接受Alice的提議?

S:(共同回答) Bob顯然不會同意，因為他不能驗證Alice拋擲硬幣的結果，也即Alice為了達到自己的目的可以給出虛假的拋硬幣結果。

T:解決上述問題的方法之一是:我們可以在這個協議中加入一個奇妙的數學函數——單向函數，把它變成一個適合在電話上工作的密碼協議。

(幻燈片)單向函數f是滿足以下條件的一類函數:

(I) 對任意整數x，由x計算f(x)是容易的，而給出f(x)，要找出對應的原像x是不可能的，不管x是奇數還是偶數。

(II) 不可能找出一對整數(x，y)，滿足x≠y且f(x)=f(y)。

T:假定兩個朋友已經就奇妙函數f(x)達成了一致，并一致同意用偶數x來表示“正面”，用奇數x代表“背面”，然后進行如下步驟(幻燈片):

(1)Alice選擇一個大隨機數x并計算f(x)，然后通過電話告訴Bob f(x)的值;

(2)Bob告訴Alice自己對x的奇偶性猜測;

(3)Alice告訴Bob x的值;

(4)Bob驗證f(x)并察看他所做的猜測是正確或是錯誤。

T:請同學結合單向函數的性質來對上述協議的有效性進行分析

S:展開小組討論。

T:請×××同學回答。(學生回答不夠全面)

T:還有沒有人進行補充?(在學生補充后，給出準確的分析)。

首先，根據f具有性質II，Alice無法找到不同的兩個數x和y，其中一個是奇數而另一個是偶數，使其滿足f(x)=f(y)。因此，Alice一旦通過電話告訴Bob f(x)的值，她也就向Bob就x的值做出了承諾，她無法再改變x的值，也即Alice已經完成了其擲硬幣過程。其次，由于f具有性質I，已知f(x)，Bob不能判定出Alice所使用的x是奇數還是偶數，因而他不得不把自己的猜測(步驟2))真實的給出。之后Alice可給出x的值令Bob相信其猜測是否正確。事實上，如果Bob利用Alice告訴的x對f(x)進行計算的結果與Alice在第1步給出的結果一樣，且Bob相信f所具有的性質，則Bob應該相信最終的輸贏。

2.2同余式的基本概念和性質教學案例

T:由生活中的同余現象引入同余式的概念，如:5月2日是周六，5月份還有哪幾天是周六?

S:(共同回答)5月9日，5月16日，5月23日，5月30日。

T:這些日期之間有什么聯系呢?請×××同學回答。

S:9，16，23和30被7除了之后余數都是2。

T:很正確。我們也可以說9，16，23和30是關于模數7同余的，今天我們就來研究同余式的基本概念和性質。

T:(幻燈片)介紹同余式的基本概念和相關性質。

然后給出同余式在古典密碼中的簡單應用以加深學員對同余概念及性質的印象。

凱撒密碼是古羅馬的凱撒大帝使用過的一種密碼。凱撒大帝在作戰中為了防止下達給部屬的命令在傳送過程中被敵人截獲，使用了一種加密手段:把明文字母循環右移3位后得到的密文字母。即明文字母和密文字母的對應關系如下:

A→D，B→E，C→F，D→G，E→H，F→I，G→J，H→K，I→L，J→M，K→N，L→O，M→P，N→Q，O→R，P→S，Q→T，R→U，S→V，T→W，U→X，V→Y，W→Z，X→A，Y→B，Z→C，

T:在學習了同余式的概念之后，能否用公式表達出凱撒密碼的加解密算法?(提示用M表示明文字母，C表示密文字母，并分別用0～25代表A～Z)

S:部分同學將加密公式寫為:C=M+3;解密公式寫為:M=C-3。

T:指出上述加解密公式的錯誤，給出正確寫法:

加密算法可表示為C≡ M+3(mod26)，解密算法可表示為M≡ C-3(mod26)。

T:給出另外一個實例——仿射密碼(幻燈片):

Alice與Bob進行保密通信，他們認為凱撒密碼過于簡單，容易被敵手破獲，就采用了以下的加密手段:將每個字母對應的數字乘以k再加上b作為密文字母對應的數字。用公式表達加密算法為:

C≡ kM+b(mod26)，(k，26)=1。

向學生提問為什么k必須取與26互素的整數?Bob收到密信后怎么解密?

S:這是因為只有(k，26)=1時，才存在k-1，滿足k#8226;k-1≡ 1(mod26)，這樣才能對C進行解密，即解密公式為

M≡ k-1C-k-1b(mod26)。

T:請學生練習k=7，b=6時，仿射密碼的加密公式和解密公式的寫法。

2.3歐拉函數和歐拉定理教學案例

T:Bob想通過一種比較安全的手段向Alice傳送一份高密級的文件M，他們決定采取目前最流行的公鑰密碼算法RSA[3]。

首先，Alice執行以下步驟產生自己的公私鑰對，如圖1所示。

圖1產生公開鑰e和私鑰d的過程

Bob要發給A的文件為M=(m0，m1，…，ml)，mi=0或1。利用二進制，可將M表成一個整數m=m0+2m1+…+2lml。這里假設m

T:大家能否說明解密公式的正確性?

S:進行思考并展開討論。

T:給出解密公式正確性的證明:

由歐拉定理可知，若(m，n)=1，有

mφ(n)≡ 1(modn)，

cd≡ med≡ m1-xφ(n)≡ m#8226;(mφ(n))-x≡ m(modn)。

所以利用解密公式Alice是可以正確恢復出明文m的。

進一步提問，Alice和Bob所采用的這種加密方式安全嗎?提示:假設黑客截取了密文c，他必須要

圖2加密解密過程

知道d才能正確解密，那么在已知公開參數n，e的情況下能否容易的得到d?(給學生思考的時間)。然后進行解釋，如圖3所示。

圖3RSA算法安全性分析

由公開鑰e找到私鑰d必須已知φ(n)，而φ(n)=(p-1)(q-1)，這就需要對大整數n進行素因子分解以求得p和q，只要n取的足夠大(比如2048比特)，對n進行分解是十分困難的。

2.4二次剩余理論教學案例

T:(幻燈片)依次介紹二次剩余的基本概念、勒讓德符號及雅可比符號的定義和相關性質。最后，給出以下應用實例:

Alice和Bob在認真研究了二次剩余的相關理論后，設計了一種巧妙的公鑰密碼算法來實現他們之間的保密通信。

首先Alice執行下列步驟產生自己的公私鑰，如圖4所示。

Bob和Alice按照以下幻燈片所示進行保密通信，如圖5所示。

圖4產生公私鑰對的過程

圖5保密通信過程

T:請大家思考Alice按照上述方法解密能否恢復出正確的明文?

S:分小組進行討論。

T:給出解密正確性的證明:

對于明文比特0，相應的密文為c=x2，故有 ， ，因此明文比特0被加密成模n的一個二次剩余。

對于明文比特1，相應的密文為c=yx2。由于 ，故有

和

，也即明文比特1被加密成模n的二次非剩余(盡管

)。

因為Alice知道p，q所以她可以確定ci是二次剩余還是二次非剩余，而其他人由于無法得到p，q，即使求出 ，也無法確定ci是二次剩余還是二次非剩余，因此無法正確恢復出ci對應的明文比特。

上述算法就是著名的Goldwasser-Micali密碼體制。

2.5原根及離散對數教學案例

T:在介紹完原根的概念、求法以及離散對數問題之后，給出以下實例(幻燈片):

Bob想通過一種安全的手段向Alice傳送一份高密級的文件M，他們決定采取目前廣泛應用的公鑰密碼算法ElGamal[4]。

首先，Alice按照以下步驟產生自己的公私鑰對，如圖6所示。

圖6ElGamal算法的公私鑰對產生過程

Bob要發給A的文件為

M=(m0，m1，…，ml)，mi=0或1。

利用二進制可將M表成一個整數m=m0+2m1+…+2lml。只要p選擇的足夠大，可以保證m

圖7ElGamal保密通信過程

請同學們思考解密算法能否恢復出正確的m。

S:因為c1=ak(modp)，c2=myk(modp)，y=ad(modp)，故

，即解密變換能正確地從密文恢復出相應的明文。

T:再請同學們思考這種公鑰密碼算法是否安全?

S:是安全的。由公開密鑰y求出私鑰d需要求解離散對數問題，只要參數p選擇的足夠大，那么離散對數問題是難解的。

3結束語

本文給出了筆者在教學過程中使用的幾個案例，這些案例將各個相關數學知識點有機的聯系在一起，

突出了“信息安全數學基礎”課程的實用性，增加了課程學習的趣味性，使學生在實際應用中理解和掌握相關數學理論，避免了單純講授數學知識給學生帶來的枯燥感和盲目感，使學生由被動接受老師講授的內容改為在老師的引導下主動思考，積極響應，活躍了原本沉悶的課堂氣氛，收到了良好的教學效果。但在進行實際的案例教學過程中，筆者也發現由于大部分學生沒有學習過“密碼學”課程，因此對案例中的部分密碼學術語比較陌生，這在一定程度上影響了案例教學的效果。筆者也將在今后的教學研究過程中不斷改進相關案例，使其更加淺顯易懂，貼近生活，充分發揮出案例教學的優勢。

參考文獻:

[1] 余琍，徐霜. 信息安全專業人才培養模式創新思路與實踐教學改革[J]. 計算機教育，2008(23):38-40.

[2] 邱衛東，陳克非.信息安全數學教學的新型互動模式[J]. 計算機教育，2007(10):19-21.

[3] Wenbo Mao. 現代密碼學理論與實踐[M]. 北京:電子工業出版社，2004.

[4] Willian Stallings. 密碼編碼學與網絡安全:原理與實踐[M]. 2版. 北京:電子工業出版社，2001.

(編輯:白杰)