數學教學中突破思維障礙的研究與探索

數學是訓練思維的體操.學生理解數學概念，學習公理、定理、公式、法則的過程，以及探求解決問題的方案的活動等等，都離不開數學思維.如何突破思維障礙和發展學生的思維能力，是數學教學的重要課題.實踐證明，在數學教學中，注重“原型”啟發，是突破思維障礙，開發學生智力，發展思維能力的有效途徑.

“原型”本是心理學上的一個名詞，把它移植到數學中來并賦予樸素的解釋就是:對解決數學問題產生啟發作用，有助于突破思維障礙的那些事物.這樣，數學基礎知識，基本原理、方法，示意圖形等等，都可以作為數學原型.數學原型之所以有啟發作用，不僅因為它與所要解決的問題有某種相似點，而且因為通過經驗的移植和改造，這種相似點可以構成解決問題的新方案，成為突破原先的思維障礙的有力武器.

一、思維障礙的特點

在數學教學中，弄清思維的主要障礙并采取相應的對策，是發展學生思維能力的關鍵.那么，學生在處理數學問題時，常會產生哪些思維障礙呢?

1.思維的封閉性.表現在分析問題和解決問題時，總習慣于用純代數或純幾何的方法與思路處理問題，把思維禁錮在有限的代數或幾何領域里，因而思維暴露出相當程度的局限性與封閉性.

2.思維的懶惰性.表現為只會用固定不變的眼光去看待代數或幾何內容，希冀每一章每一節的代數或幾何問題都可用某些代數或幾何公式、定理、法則或模式來解決，而不愿從運動、變化、發展的角度去認識和思考問題.

3.思維的僵化性.往往表現為對問題的機械模仿，即只知對號入座套用模式，不能適應問題的情境變化而靈活應變，常常把兩個形異質同的問題看成毫無聯系的陌生問題.

二、突破思維障礙的方法與途徑

以上這些思維障礙，不但阻礙了學生思維能力的健康發展，也直接影響了數學教學的質量.因此，在教學中有必要采取相應的措施去克服和排除這些障礙.

1.從數形結合上去找原型，突破思維障礙

【例1】 設a>0，b<0，且︳a︱<︳b︱，用“<”號把a，-a，b，-b連接起來.

由題設，學生易知a>b，但因為只從“數”的角

度去考慮，而產生難以確定a與-b，b與-a的大小關

系的思維障礙.若以“數軸”為原型，并依題意把四個數:

a，-a，b，-b反映在數軸上，

如右圖，然后根據“在數軸上表示的兩個實數，右邊的數總比左邊的數大”，則不難得出:b<-a

數軸在研究數學問題中有著重要的作用，在研究不等式的解法和解含絕對值方程等問題中，數軸是突破思維障礙的理想的原型.

2.以重要的不等式、等式為原型，突破思維障礙

一些重要的不等式、等式，如著名的柯西不等式的特例:

ac+bd≤a²+b²#8226;c²+d².(*)

這個特例在解(證)題中都有著廣泛的應用價值.解題時選用它為原型，往往能大大縮短思維航程，使問題迅速得到解決.

【例2】 求函數y=3-x+5x-4的最大值.

解:y=1#8226;3-x+5#8226;x-45≤1+5#8226;3-x+x-45=665.

3.以學生所熟悉的生活實例為原型，突破思維障礙

【例3】 若集合A={a，b，c，d｝，B={e，f，g｝，試求從A到B的映射的個數.

這個問題涉及到映射概念和排列組合知識，若只從概念到概念，從抽象到抽象探求解題思路，會使學生陷入糾纏不清的困惑之中.但若能從學生所熟悉的生活實例為原型，則不難叩開思維障礙之門.事實上，我們把集合A的四個元素視為四個插班生，集合B的三個元素當作三個班級，這樣，問題不就變成“四個同學插到三個班級，可有多少種插法”了嗎?事實上，每個同學插到三個班級都有3種不同的插法，根據乘法原理容易求得共有81種不同的插法，因此，從A到B有81個映射.

4.運用類比啟發，突破思維障礙

在數學教學中，類比法是最常用、最有效的思維方法之一.通過類比，可以發現新舊知識間的相同點，這種發現將成為決定下一步思維活動的向導.正如康德所說:“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進.”因此，類比啟發，不失為突破思維障礙的妙法之一.

【例4】 已知x，y，z∈R+，x²+y²=z²，

求證:xn+yn2).

對于這一問題，教師如何引導學生的思維?為了揭示x²+y²=z²與xn+yn2+(yz)²=1(xz)n+(yz)n<1(z≠0)，于是只需證(xz)n+(yz)n<(xz)²+(yz)²即可.此時教師再啟發學生:(xz)²+(yz)²=1與哪個三角公式相類似?從而引出原型:sin²α+cos²α=1.至此用三角代換法證明本題的念頭便油然而生:令xz=sinα，yz=cosα，則

02時，sinnα2α，cosnα2α，于是sinnα+cosnα2α+cos²α=1，即(xz)n+(yz)n<1，故xn+yn

數學作為客觀事物的一種存在形式，從廣泛的意義上說，其中任何問題都有與之相應的原型.針對某個數學問題，一旦找出它的原型，就可以給予該問題一種具有實體感的參照，以此為“跳板”，我們不但可以引導學生輕松地越過思維屏障，而且能啟發學生化難為易，大大地縮短思維的航程，從而使問題迅速獲得解決.

三、需要注意的幾個問題

1.數學思維障礙是客觀存在的

作為數學教師，應該十分清醒地認識到，人的智力和思維水平是有差異的，不同的學生，他們的基礎知識、基本技能也各不相同，觀察問題、分析問題和解決問題的能力也各有千秋，因此，思維障礙是客觀存在的.教師的職責就是既要正視它的客觀存在，又要認識到它是可以疏導和突破的.

2.數學思維障礙是可以突破的

世上無難事，只怕有心人.事實上，對學生思維障礙的疏導和突破，是一項長期的工作，教師不能因為學生的成績不好就嫌棄他們，相反，教師不僅要關心愛護他們，還要針對思維障礙的成因和心理的個別差異，對癥下藥，優化疏導和突破的策略.只有這樣，學生的思維才能得到合理的鍛煉和最佳的發展.事實表明，只要我們教師方法得當，全心投入，并爭取學生的積極配合，那么，他們的思維障礙是完全可以疏導和突破的.

3.數學思維障礙是值得研究的

新課程、新理念、新教材給我們數學教師的教育教學工作，特別是疏導和突破學生的數學思維障礙提供了新的素材，并帶來了新的機遇.作為當前中學數學的重要課題，完全值得廣大教師進行認真地分析和探討，并進行深入地研究，使更多的學生的數學思維水平迅速地提高，使更多的學生的數學學習興趣被激發，使更多的學生的數學學習素質迅速地提升.

總之，只要數學教師認真學習新課標，深入鉆研新教材，運用新理念，并根據學生的心理特點和年齡特征以及認知規律，注意做好以上幾方面的工作，就一定能夠達到突破學生數學思維障礙的目的，使課堂教學更加有效甚至高效，從而大面積提高數學教育教學質量.

(責任編輯 金 鈴)